Audio digital: frecuencia de muestreo, bits y teorema de Nyquist

Un sonido es una variación continua de presión. Un ordenador, en cambio, solo sabe manejar números. Convertir lo uno en lo otro sin que el oído note la diferencia es el problema del audio digital, y su solución descansa en dos preguntas muy simples: cada cuánto medimos la onda y con cuánta precisión apuntamos cada medida. La primera respuesta es la frecuencia de muestreo; la segunda, la profundidad de bits.

Antes de empezar, comprueba hasta dónde llega tu oído. Baja el volumen: estos tonos son muy agudos y pueden resultar molestos. Muchos adultos dejan de oír los últimos:

▶ Tonos de 8, 12, 15 y 17 kHz

El límite superior del oído joven está en torno a 20 kHz y baja con la edad, como verás en el umbral de audición. Ese límite es el que marca todo lo demás.

La cadena de conversión

Para grabar, un conversor analógico-digital (ADC) toma la tensión que sale del micrófono y del preamplificador, la mide a intervalos regulares y guarda cada medida como un número. Para escuchar, un conversor digital-analógico (DAC) hace el camino contrario. Entre los dos, la señal es una lista de números que se puede copiar, editar y transmitir sin degradarse.

El muestreo y el teorema de Nyquist-Shannon

Muestrear es tomar el valor de la señal cada cierto tiempo. El número de muestras por segundo es la frecuencia de muestreo $f_s$, y el intervalo entre muestras, $T = 1/f_s$. A 44,1 kHz se toma una muestra cada 22,7 µs.

¿Cuántas muestras hacen falta? El teorema de muestreo responde:

$$f_s > 2 \, f_{\text{máx}}$$

Una señal que no contiene frecuencias por encima de $f_{\text{máx}}$ se puede reconstruir exactamente a partir de sus muestras si se muestrea a más del doble de esa frecuencia. La mitad de la frecuencia de muestreo, $f_s/2$, se llama frecuencia de Nyquist.

Fíjate en la palabra exactamente. Es la idea más contraintuitiva del audio digital: entre dos muestras no se «pierde» nada, siempre que la señal no tenga componentes por encima de $f_s/2$. El conversor no une los puntos con una escalera ni con rectas; reconstruye la única curva suave, limitada en banda, que pasa por todos ellos.

El aliasing

Si al conversor llega una frecuencia por encima de $f_s/2$, no desaparece: se pliega y aparece como otra frecuencia, reflejada respecto a la de Nyquist. Ese fantasma se llama alias:

$$f_{\text{alias}} = \left| f - k \, f_s \right|$$

donde $k$ es el número entero que hace el resultado menor que $f_s/2$. A 44,1 kHz, un componente de 30 kHz aparece como $|30 - 44{,}1| = 14{,}1$ kHz, en plena zona audible y sin ninguna relación armónica con la música. Es lo mismo que ves en el cine cuando las ruedas de un carro parecen girar hacia atrás: la cámara «muestrea» demasiado despacio.

Para evitarlo, antes del ADC se coloca un filtro antialiasing, un paso bajo que elimina todo lo que está por encima de $f_s/2$. Los conversores modernos muestrean internamente a una frecuencia mucho mayor (sobremuestreo) y filtran después en digital, lo que permite filtros muy precisos.

$f_s$	Frecuencia de Nyquist	Uso principal
8 kHz	4 kHz	Telefonía
44,1 kHz	22,05 kHz	CD, distribución de música
48 kHz	24 kHz	Vídeo, cine, televisión, estándar de estudio
88,2 / 96 kHz	44,1 / 48 kHz	Grabación y producción en alta resolución
192 kHz	96 kHz	Archivo, algunos formatos de alta resolución

¿Por qué 44,1 kHz?

Había que cubrir hasta 20 kHz y dejar margen para el filtro antialiasing, que no puede cortar de golpe: de 20 a 22,05 kHz hay unos 2 kHz para que el filtro pase de dejarlo todo a eliminarlo todo. Pero el número exacto tiene una historia curiosa. A finales de los setenta, antes de que hubiera discos duros capaces de guardar tanta información, el audio digital se grababa en cintas de vídeo mediante adaptadores PCM, que escribían las muestras como puntos blancos y negros en las líneas de la imagen. Con tres muestras por línea:

$$\text{NTSC: } 60 \times 245 \times 3 = 44\,100 \qquad \text{PAL: } 50 \times 294 \times 3 = 44\,100$$

(campos por segundo × líneas útiles por campo × muestras por línea). La misma cifra servía en América y Japón y en Europa. Sony y Philips la adoptaron en el estándar del CD (el llamado Red Book, de 1980), junto con 16 bits y dos canales. Los 48 kHz, más cómodos para sincronizar con la imagen, se impusieron en vídeo y en los estudios.

La cuantificación y la profundidad de bits

Cada muestra se redondea al valor más próximo de una escala de $2^N$ niveles, donde $N$ es la profundidad de bits. El error de redondeo se llama error de cuantificación y se comporta como un ruido de fondo. Cuantos más bits, más fino es el escalón y más bajo el ruido.

Para una senoide a plena escala, la relación entre la señal y el ruido de cuantificación es:

$$\text{SNR} \approx 6{,}02 \, N + 1{,}76\ \text{dB}$$

Cada bit duplica el número de niveles y, por tanto, reduce el ruido a la mitad en amplitud: $20\log_{10}(2) \approx 6{,}02$ dB. El término de 1,76 dB sale de comparar la potencia de una senoide con la de un error repartido uniformemente.

Bits	Niveles	Rango dinámico teórico	Uso
8	256	≈ 50 dB	Primeros muestreadores y videojuegos
16	65 536	≈ 98 dB	CD, distribución
20	1 048 576	≈ 122 dB	Límite práctico de los mejores conversores
24	16 777 216	≈ 146 dB	Grabación y producción
32 (coma flotante)	—	Enorme	Procesado interno de los programas

Ningún conversor real alcanza los 146 dB de los 24 bits: el ruido de los circuitos analógicos limita el rango real a unos 115-125 dB. Aun así, grabar a 24 bits tiene una ventaja práctica enorme: puedes dejar mucho margen (headroom) para que los picos no saturen, sin que el ruido de cuantificación sea un problema. Una costumbre sensata es grabar con los picos entre −12 y −6 dBFS.

El dither

Con señales muy débiles, el error de cuantificación deja de parecer ruido y se vuelve distorsión, porque sigue el ritmo de la señal. La solución, a primera vista absurda, es añadir un poco de ruido antes de redondear: el dither. Con un ruido del orden de un escalón, el error se vuelve independiente de la señal y la distorsión se transforma en un siseo uniforme, mucho menos molesto. Incluso se pueden oír sonidos más débiles que el propio escalón, «dentro» del ruido.

El dither se aplica cada vez que se reducen los bits, por ejemplo al pasar una mezcla de 24 bits a los 16 bits de un CD. Con técnicas de conformado del ruido (noise shaping) se desplaza ese siseo a las frecuencias donde el oído es menos sensible.

Cuánto ocupa el audio digital

La tasa de datos del audio sin comprimir es fácil de calcular:

$$\text{tasa (bit/s)} = f_s \times N \times \text{canales}$$

Un CD: $44\,100 \times 16 \times 2 = 1\,411\,200$ bit/s, unos 1 411 kbit/s o 10,6 MB por minuto. Una sesión a 48 kHz y 24 bits en estéreo: 2 304 kbit/s, unos 17,3 MB por minuto y pista estéreo.

Formatos: con pérdida y sin pérdida

Formato	Tipo	Tamaño respecto al original	Uso
WAV, AIFF	Sin comprimir (PCM)	100 %	Grabación, edición, masterización
FLAC, ALAC	Comprimido sin pérdida	≈ 50-70 %	Archivo y escucha de alta calidad
MP3, AAC, Ogg Vorbis, Opus	Comprimido con pérdida	≈ 5-20 %	Distribución, streaming

La compresión sin pérdida funciona como un zip: al descomprimir, recuperas exactamente las mismas muestras. La compresión con pérdida es otra cosa. Un MP3 a 128 kbit/s ocupa unas 11 veces menos que el CD porque descarta información: un modelo del oído decide qué componentes quedarán tapados por otros más fuertes y los codifica con menos precisión o los elimina. Es el enmascaramiento, que tienes explicado en su artículo de psicoacústica. A tasas altas (256-320 kbit/s), la mayoría de los oyentes no distingue un buen MP3 o AAC del original; a tasas bajas aparecen artefactos: agudos «burbujeantes», platillos borrosos, ecos antes de los ataques.

La latencia

Un ordenador no procesa el audio muestra a muestra, sino en bloques (buffers). Mientras se llena un bloque, la señal espera. Esa espera es la latencia:

$$t = \frac{\text{tamaño del búfer (muestras)}}{f_s}$$

Búfer	A 48 kHz	Distancia equivalente en el aire
64 muestras	1,3 ms	≈ 0,46 m
128 muestras	2,7 ms	≈ 0,91 m
256 muestras	5,3 ms	≈ 1,83 m
1 024 muestras	21,3 ms	≈ 7,3 m

La latencia real de ida y vuelta (entrar, procesar y salir) es al menos el doble, más el retardo de los propios conversores. Compárala con la velocidad del sonido: cada milisegundo equivale a unos 34 cm de aire. En un escenario, un violinista oye a los instrumentos situados a 10 m con unos 30 ms de retraso y está acostumbrado a ello; pero muchos intérpretes notan una latencia de unos 10 ms cuando es la de su propio sonido en los auriculares. Por eso se graba con búferes pequeños y se mezcla con búferes grandes, que descargan el procesador.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Pohlmann, K. C. (2011). Principles of Digital Audio (6.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Watkinson, J. (2001). The Art of Digital Audio (3.ª ed.). Oxford: Focal Press.
• Shannon, C. E. (1949). «Communication in the presence of noise». Proceedings of the IRE, 37(1), 10-21.
• Nyquist, H. (1928). «Certain topics in telegraph transmission theory». Transactions of the AIEE, 47, 617-644.
• Lipshitz, S. P., Wannamaker, R. A. y Vanderkooy, J. (1992). «Quantization and dither: a theoretical survey». Journal of the Audio Engineering Society, 40(5), 355-375.
• Rumsey, F. y McCormick, T. (2014). Sound and Recording (7.ª ed.). Oxford: Focal Press.