Sistemas de afinación

El problema de la afinación: por qué siempre sobra una coma

Afinar parece fácil: basta con que las notas formen intervalos puros, los que salen de la serie armónica. La octava es 2/1, la quinta 3/2 y la tercera mayor 5/4. El problema es que estos intervalos no encajan entre sí:

• Doce quintas puras superan a siete octavas en la coma pitagórica (23,46 cents).
• Cuatro quintas puras superan a dos octavas más una tercera mayor pura en la coma sintónica (21,51 cents).
• Tres terceras mayores puras se quedan cortas frente a una octava en la diesis menor (41,06 cents).

La razón es matemática: ninguna potencia de 3 o de 5 es igual a una potencia de 2. Por eso no existe un teclado de 12 notas con todos sus intervalos puros. Cada sistema de afinación es, en el fondo, una decisión sobre dónde poner esa coma sobrante. Tienes todas las comas comparadas en las comas musicales.

Afinaciones y temperamentos

Conviene distinguir dos palabras que a menudo se confunden:

• Una afinación usa solo intervalos puros, definidos por razones de números enteros. La afinación pitagórica usa la quinta 3/2; la afinación justa de Zarlino añade las terceras 5/4 y 6/5. La coma no desaparece: se acumula en unos pocos intervalos inutilizables, como la quinta del lobo.
• Un temperamento altera deliberadamente algunos intervalos (los «templa») para repartir la coma. El mesotónico estrecha las quintas para lograr terceras puras; los temperamentos desiguales reparten la coma de forma irregular; el temperamento igual la reparte a partes iguales.

Sistemas iguales y desiguales

Otra forma de clasificarlos es por el tamaño de sus pasos:

• En los sistemas iguales la octava se divide en partes idénticas. El más conocido es el de 12 semitonos (12-TET), pero existen otros, como las divisiones en 19, 31 o 53 partes, que dan mejores terceras o quintas a cambio de más notas por octava.
• En los sistemas desiguales los semitonos y los tonos no miden todos lo mismo. Así ocurre en la afinación pitagórica, la justa, el mesotónico y los temperamentos barrocos. Cada tonalidad tiene entonces un «color» distinto, y algunas pueden resultar inutilizables.

Línea temporal de los sistemas de afinación

Época	Hito
s. VI a. C.	La tradición atribuye a Pitágoras el descubrimiento de las razones 2/1, 3/2 y 4/3
s. IV a. C.	Aristóxeno piensa los intervalos como distancias divisibles
s. II d. C.	Ptolomeo describe en sus Harmónicos el diatónico sintónico (16/15, 9/8, 10/9)
c. 510	Boecio transmite la teoría pitagórica a la Edad Media
1482	Ramos de Pareja propone una división del monocordio con terceras puras
1523	Pietro Aron describe un temperamento que suele interpretarse como mesotónico de 1/4 de coma
1558	Zarlino, Le istitutioni harmoniche: defensa de la afinación justa
1577	Francisco de Salinas, De musica libri septem: temperamentos mesotónicos y división igual para instrumentos de trastes
1584	Zhu Zaiyu calcula con exactitud la raíz duodécima de 2
c. 1605	Simon Stevin describe el temperamento igual en Europa
1636-1637	Mersenne, Harmonie universelle
1691	Andreas Werckmeister, Musicalische Temperatur
1722	Bach, El clave bien temperado (libro I)
1885	Alexander J. Ellis introduce el cent
s. XIX	El temperamento igual se generaliza en el piano

Cómo leer los cents

Para comparar sistemas usaremos el cent, la centésima parte de un semitono temperado:

$$c = 1200 \cdot \log_2 \frac{f_2}{f_1}$$

donde $f_1$ y $f_2$ son las frecuencias de las dos notas (en Hz) y $c$ el intervalo en cents. Una octava mide 1200 cents y un semitono temperado, 100. Así, cuando leas que la quinta pura mide 701,96 cents, sabrás que está 1,96 cents por encima de la temperada. Como referencia, la diferencia mínima que un oído entrenado distingue entre dos notas sucesivas ronda los 5-10 cents, aunque varía mucho según el registro y la persona. En un acorde sostenido, los batimientos delatan desviaciones todavía menores. Lo explicamos a fondo en qué son los cents.

Índices acústicos: ¿Do3 o Do4?

Los índices acústicos son los números que acompañan al nombre de una nota para indicar su octava. Cambian en cada Do. El problema es que conviven varios sistemas:

Frecuencia (La4 = 440 Hz)	Internacional	Franco-belga	Helmholtz
32,70 Hz	Do1	Do0	C͵
65,41 Hz	Do2	Do1	C
130,81 Hz	Do3	Do2	c
261,63 Hz (do central)	Do4	Do3	c′
523,25 Hz	Do5	Do4	c″
1046,50 Hz	Do6	Do5	c‴

La regla es sencilla: franco-belga = internacional − 1. El La del diapasón (440 Hz) es La4 en el índice internacional y La3 en el franco-belga. En este curso usamos siempre el internacional.

Tienes la explicación completa, con el sistema de Helmholtz y la notación de órgano, en índices acústicos. Y si lo que buscas son las frecuencias de todas las notas, consulta la frecuencia de las notas musicales.

Compara los sistemas de oído

La mejor forma de entender todo esto es escucharlo. El comparador permite oír la misma escala o el mismo acorde en cada sistema: