Varillas, placas y membranas: figuras de Chladni y acústica de la percusión

La percusión es la familia más numerosa y la más difícil de explicar acústicamente. Las cuerdas y los tubos tienen una serie armónica «de fábrica». Las varillas, placas y membranas, no: sus parciales se reparten de forma irregular, y eso explica por qué un triángulo, un plato o una caja no tienen una nota clara.

Escucha primero un sonido armónico (parciales a 1, 2 y 3 veces 440 Hz) y después los tres primeros parciales de una barra metálica libre con la misma fundamental:

▶ Parciales armónicos: 440, 880 y 1320 Hz ▶ Barra libre: 440, 1212,9 y 2377,7 Hz

El segundo suena metálico, como una campanita. Es el sonido típico de los parciales inarmónicos.

Cuerpos que vibran por su propia rigidez

Tradicionalmente la percusión se divide en instrumentos de altura determinada e indeterminada, o en idiófonos (vibra el propio cuerpo) y membranófonos (vibra una membrana tensa). Aquí los ordenaremos por su comportamiento acústico:

Tipo	Qué lo hace vibrar	Ejemplos
Varillas (barras)	Su propia rigidez	Láminas de xilófono y marimba, diapasón, triángulo, campanas tubulares
Placas	Su propia rigidez	Platos, gongs, tam-tam, tapa de un violín
Membranas	La tensión aplicada	Timbales, caja, bombo, tambores

Una cuerda o una membrana necesitan estar tensadas para vibrar: su fuerza recuperadora es la tensión. Una barra o una placa, en cambio, vuelven a su forma por su rigidez (su elasticidad a la flexión). Esa diferencia cambia por completo la relación entre los modos.

Varillas vibrantes

Vibración longitudinal

Si frotas una varilla a lo largo (con un paño con resina, por ejemplo), vibra longitudinalmente. Se comporta como un tubo sonoro, pero con la velocidad del sonido en el sólido, que es mucho mayor que en el aire:

• Libre por los dos extremos: como un tubo abierto, $f_n = n \cdot v_L/2L$. Si la sujetas por el centro, solo pueden sonar los modos que tienen un nodo ahí, es decir, los impares.
• Empotrada por un extremo: como un tubo cerrado, $f = (2n-1) \cdot v_L/4L$.

Aquí $v_L$ es la velocidad longitudinal del material (m/s). En el acero es de unos 5000-5100 m/s: una varilla de acero de 1 m libre por los extremos da una fundamental de unos 2500 Hz. Los parciales sí son armónicos, pero esta forma de vibrar tiene poco uso musical.

Vibración transversal: parciales inarmónicos

Si golpeas una barra, vibra transversalmente (se flexiona). Es el caso de casi toda la percusión de láminas. Ahora las frecuencias ya no crecen como $n$, sino aproximadamente como $n^2$. Para una barra uniforme libre por los dos extremos:

$$f_n = \frac{(\beta_n L)^2}{2\pi L^2} \cdot K \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

donde $L$ es la longitud (m), $E$ el módulo de Young del material (Pa), $\rho$ su densidad (kg/m³), $K$ el radio de giro de la sección (para una barra rectangular de espesor $h$, $K = h/\sqrt{12}$) y $\beta_n L$ unas constantes que dependen de cómo esté sujeta la barra.

La consecuencia práctica es una ley sencilla: la frecuencia es proporcional al espesor e inversamente proporcional al cuadrado de la longitud. Si reduces la longitud a la mitad, la barra sube dos octavas, no una.

Ejemplo. Una barra de aluminio ($E \approx 70$ GPa, $\rho \approx 2700$ kg/m³) de 1 cm de espesor, libre por los extremos, necesita unos 34,5 cm para dar La4 (440 Hz).

Modo	Barra libre-libre	Barra empotrada-libre
1	1	1
2	2,757	6,267
3	5,404	17,55
4	8,933	34,39
5	13,34	56,84

Frecuencia de cada modo respecto al primero (barra uniforme ideal).

Los nodos del primer modo de una barra libre están a 0,224·L de cada extremo. Por eso las láminas del xilófono o del glockenspiel se sujetan o se agujerean justamente ahí: el soporte no amortigua la vibración principal.

Campanas tubulares. Son tubos libres que vibran transversalmente. Sus modos 4.º, 5.º y 6.º son proporcionales a 9², 11² y 13², es decir, están casi en la razón 2 : 3 : 4. El oído interpreta esos tres parciales como armónicos de una fundamental ausente, una octava por debajo del 4.º modo, y oye ahí la nota de la campana.

Láminas afinadas: marimba, xilófono y vibráfono

Una lámina uniforme tiene parciales a 2,76 y 5,40 veces la fundamental: no suena «afinada». Los constructores lo resuelven con un rebaje en arco en la cara inferior de la lámina. Quitar material en el centro baja sobre todo el primer modo, que es el que más se flexiona ahí, y permite colocar los parciales superiores donde se quiere:

Instrumento	2.º parcial	3.er parcial
Barra sin rebajar (glockenspiel)	2,76	5,40
Marimba	4 (dos octavas)	unos 10 (dos octavas y tercera mayor)
Xilófono	3 (duodécima)	variable
Vibráfono	4 (dos octavas)	variable

▶ Lámina de marimba afinada: Do4 con parciales 1 : 4 : 10

Bajo cada lámina, la marimba y el vibráfono llevan un resonador: un tubo cerrado por abajo cuya longitud es un cuarto de la longitud de onda de la nota. Para Do4 (261,63 Hz) serían $343/(4 \cdot 261{,}63) \approx 0{,}33$ m, menos la corrección de extremo. Es una aplicación directa de los tubos sonoros cerrados.

El diapasón

El diapasón fue inventado por el trompetista inglés John Shore en 1711. Cada rama se comporta aproximadamente como una barra empotrada por la base. Las dos ramas vibran en oposición de fase, de modo que el mango casi no se mueve de lado: se desplaza arriba y abajo a la misma frecuencia, y por eso el sonido se amplifica cuando apoyas el mango sobre una mesa.

Su segundo modo está muy lejos de la fundamental (unas 6 veces más arriba, hacia 2,7 kHz en un diapasón de La 440) y se apaga en pocos instantes. Lo que queda es un sonido muy cercano a una onda senoidal pura. Esa pureza y su estabilidad lo hacen ideal como referencia de afinación. Si te interesa la historia del La de referencia, lee 432 Hz frente a 440 Hz.

Placas vibrantes y figuras de Chladni

Una placa es una «barra» extendida en dos dimensiones. Sus nodos ya no son puntos, sino líneas nodales, y sus vientres, zonas de la superficie.

Ernst Florens Friedrich Chladni (1756-1827), físico y músico alemán, encontró la forma de hacerlos visibles. Esparcía arena fina sobre una placa metálica, la sujetaba por el centro y la frotaba con un arco de violín en el borde. La arena saltaba de las zonas que vibraban y se acumulaba en las líneas nodales, dibujando figuras distintas para cada modo. Las publicó en Entdeckungen über die Theorie des Klanges (Leipzig, 1787) y las amplió en su tratado Die Akustik (1802).

Para una placa de un material dado, la frecuencia de cada modo cumple:

$$f \propto \frac{h}{a^2}\sqrt{\frac{E}{\rho(1-\nu^2)}}$$

donde $h$ es el espesor, $a$ el radio o el lado, $E$ el módulo de Young, $\rho$ la densidad y $\nu$ el coeficiente de Poisson (adimensional). Igual que en las barras, la frecuencia es proporcional al espesor e inversamente proporcional al cuadrado del diámetro.

En una placa circular, cada modo se describe con dos números: $m$, el número de diámetros nodales, y $n$, el de círculos nodales. Chladni observó una regla empírica, hoy llamada ley de Chladni: la frecuencia crece aproximadamente como $(m + 2n)^2$. Los parciales, una vez más, no forman una serie armónica. Por eso platos, gongs y tam-tams suenan con una altura difusa y un espectro muy denso.

Membranas vibrantes

Una membrana es el equivalente en dos dimensiones de una cuerda: no tiene rigidez propia y vibra gracias a la tensión. Para una membrana circular ideal fija por el borde:

$$f_{mn} = \frac{j_{mn}}{2\pi a}\sqrt{\frac{T}{\sigma}}$$

donde $a$ es el radio (m), $T$ la tensión por unidad de longitud del borde (N/m), $\sigma$ la masa por unidad de superficie (kg/m²) y $j_{mn}$ los ceros de las funciones de Bessel, unas constantes que dependen del modo. El modo $(m, n)$ tiene $m$ diámetros nodales y $n$ círculos nodales (contando el borde).

Modo (m, n)	$j_{mn}$	Razón con el fundamental	Con fundamental de 150 Hz
(0, 1)	2,405	1,00	150,0 Hz
(1, 1)	3,832	1,59	239,0 Hz
(2, 1)	5,136	2,14	320,3 Hz
(0, 2)	5,520	2,30	344,3 Hz
(3, 1)	6,380	2,65	398,0 Hz
(1, 2)	7,016	2,92
(4, 1)	7,588	3,16
(2, 2)	8,417	3,50
(0, 3)	8,654	3,60
(5, 1)	8,771	3,65

▶ Cinco primeros modos de una membrana ideal (150 Hz)

Los parciales de una membrana ideal son muy inarmónicos y están muy juntos. Es lo que oyes en un bombo o en un tom: un golpe con una altura aproximada, pero sin nota definida.

De la fórmula salen las leyes de las membranas, que corrigen las que figuraban en la versión antigua de esta página:

1. La frecuencia es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión (no a la tensión).
2. Es inversamente proporcional al diámetro (no al cuadrado del diámetro, que es la ley de las placas).
3. Es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa por unidad de superficie, y por tanto a la raíz cuadrada del espesor, para un mismo material.

El timbal: una membrana con altura definida

¿Cómo consigue el timbal dar notas afinadas? Por dos razones:

1. La carga del aire. El aire encerrado en la caldera y el aire exterior que la membrana tiene que mover añaden masa a la vibración y bajan la frecuencia de los modos, sobre todo la de los graves. El resultado es que los modos (1,1), (2,1), (3,1) y (4,1) pasan de la razón ideal 1 : 1,34 : 1,66 : 1,98 a aproximadamente 1 : 1,5 : 2 : 2,5, que es la razón 2 : 3 : 4 : 5 de una serie armónica.
2. El punto de golpeo. El timbalero golpea cerca del borde, no en el centro. Así excita poco el modo (0,1), que además radia tan bien que se apaga muy deprisa.

La altura que se oye corresponde al modo (1,1), llamado tono principal, reforzado por los modos que suenan a la quinta y a la octava. Escucha la aproximación para un timbal afinado en Re3:

▶ Timbal en Re3: modos (1,1) a (4,1), razón 1 : 1,5 : 2 : 2,5

Beethoven amplió el papel del timbal más allá de la tónica y la dominante: en el Scherzo de la Novena sinfonía afina los timbales en octava (Fa), y en la Octava, también en octava. Lo verás con más detalle en la futura página sobre percusión afinada; mientras tanto, puedes repasar por qué oímos una altura clara solo cuando los parciales son armónicos en el artículo sobre el timbre.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Chladni, E. F. F. (1787). Entdeckungen über die Theorie des Klanges. Leipzig: Weidmanns Erben und Reich.
• Chladni, E. F. F. (1802). Die Akustik. Leipzig: Breitkopf und Härtel.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Rossing, T. D. (2000). Science of Percussion Instruments. Singapur: World Scientific.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3.ª ed.). San Francisco: Addison-Wesley.
• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.