Tubos sonoros abiertos y cerrados: fórmulas e instrumentos

Una flauta y un clarinete miden más o menos lo mismo. Sin embargo, la nota más grave del clarinete está casi una octava por debajo de la de la flauta, y su sonido grave es «hueco» mientras que el de la flauta es redondo. La explicación no está en la madera ni en el metal, sino en la forma del tubo y en si sus extremos están abiertos o cerrados.

Escucha dos sonidos con la misma fundamental (Re3, 146,83 Hz). El primero solo tiene armónicos impares, como un tubo cerrado; el segundo tiene todos, como un tubo abierto.

▶ Solo armónicos impares (tipo clarinete grave) ▶ Todos los armónicos (tipo oboe o saxofón)

¿Qué es un tubo sonoro?

Un tubo sonoro es un tubo que contiene una columna de aire capaz de vibrar y producir sonido. Lo que vibra es el aire de dentro, no las paredes del tubo. Las paredes solo confinan el aire y le dan forma. Por eso una flauta de plata y una de madera con el mismo diseño interior suenan tan parecidas.

La vibración del aire es longitudinal: las partículas se mueven hacia delante y hacia atrás en la dirección del tubo, y producen zonas de compresión y de enrarecimiento. Las ondas viajan por el tubo, se reflejan en los extremos y forman ondas estacionarias, igual que en una cuerda (repasa el mecanismo en las ondas sonoras II).

El comportamiento de cada tubo depende de lo que ocurre en sus extremos:

Extremo	Presión	Desplazamiento del aire
Abierto	Nodo (la presión es la atmosférica)	Vientre (el aire se mueve libremente)
Cerrado	Vientre (máxima variación de presión)	Nodo (el aire no puede moverse)

Desde el punto de vista acústico hay dos tipos básicos de tubo cilíndrico: abiertos (por los dos extremos) y cerrados (por un extremo). Los cerrados se llaman a veces semicerrados, porque un tubo cerrado por ambos lados no podría sonar hacia fuera.

La velocidad del sonido en el aire, $v$, depende de la temperatura: unos 331 m/s a 0 °C y 343 m/s a 20 °C, que es el valor que usaremos. Lo verás con detalle en el artículo sobre la velocidad del sonido.

Tubos abiertos: fórmula y armónicos

En un tubo abierto hay un vientre de desplazamiento en cada extremo. La forma más sencilla de onda estacionaria tiene un nodo en el centro: el tubo contiene media longitud de onda, $L = \lambda/2$. El siguiente modo tiene dos nodos y cabe una longitud de onda entera, y así sucesivamente:

$$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad \Rightarrow \quad f_n = n \cdot \frac{v}{2L} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

donde $f_n$ es la frecuencia del modo $n$ (Hz), $v$ la velocidad del sonido (m/s) y $L$ la longitud del tubo (m). Es la misma fórmula que la de la cuerda vibrante: el tubo abierto produce la serie armónica completa.

Ejemplo. Un tubo abierto de 1 m: $f_1 = 343/2 = 171{,}5$ Hz. Sus armónicos son 343, 514,5, 686 Hz…

Instrumentos de tubo abierto: la flauta travesera (la embocadura es un agujero abierto y el otro extremo también está abierto), la flauta de pico y los tubos abiertos del órgano (flautados o principales).

Tubos cerrados: fórmula y armónicos impares

En un tubo cerrado por un extremo hay un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado y un vientre en el abierto. En el modo más sencillo, el tubo contiene solo un cuarto de longitud de onda: $L = \lambda/4$. El siguiente modo posible añade media longitud de onda: $L = 3\lambda/4$. Luego $5\lambda/4$, $7\lambda/4$…

$$L = (2n-1) \cdot \frac{\lambda}{4} \quad \Rightarrow \quad f = (2n-1) \cdot \frac{v}{4L} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

Dos consecuencias:

1. Solo aparecen los armónicos impares: $f_1$, $3f_1$, $5f_1$, $7f_1$… El 2.º, el 4.º o el 6.º no pueden existir porque no cumplen las condiciones de los extremos.
2. A igual longitud, el tubo cerrado suena una octava más grave que el abierto, porque su fundamental es $v/4L$ en lugar de $v/2L$.

Modo	Tubo abierto de 1 m	Tubo cerrado de 1 m
1	171,5 Hz (armónico 1)	85,75 Hz (armónico 1)
2	343 Hz (armónico 2)	257,25 Hz (armónico 3)
3	514,5 Hz (armónico 3)	428,75 Hz (armónico 5)
4	686 Hz (armónico 4)	600,25 Hz (armónico 7)

▶ Modos de un tubo abierto de 1 m ▶ Modos de un tubo cerrado de 1 m

Instrumentos de tubo cerrado: el clarinete (cilíndrico; la boquilla con la lengüeta actúa como extremo cerrado), los tubos tapados del órgano (bordones, Gedackt) y la flauta de Pan, cuyos tubos están cerrados por abajo.

La corrección de extremo

En el extremo abierto la onda no se refleja exactamente en el borde: la columna de aire vibrante «sobresale» un poco. El tubo se comporta como si fuera más largo. Para un tubo cilíndrico sin pestaña, cada extremo abierto añade aproximadamente:

$$\Delta L \approx 0{,}6 \cdot r$$

donde $r$ es el radio interior del tubo. (El cálculo clásico de Levine y Schwinger, de 1948, da 0,61·r; si el extremo tiene una pestaña ancha, la corrección sube hasta unos 0,85·r.) La longitud efectiva es:

$$L_\text{ef} = L + 0{,}6\,r \ \ \text{(tubo cerrado)} \qquad L_\text{ef} = L + 2 \cdot 0{,}6\,r \ \ \text{(tubo abierto)}$$

Ejemplo. Un tubo abierto de 0,50 m y 2 cm de radio: sin corrección daría 343 Hz; con corrección, $L_\text{ef} = 0{,}5244$ m y $f_1 \approx 327$ Hz. La diferencia es de unos 82 cents, casi un semitono. Por eso los constructores de instrumentos no pueden fiarse de la fórmula ideal. En los instrumentos reales la embocadura, los orificios y la boquilla añaden otras correcciones.

Tubos cónicos: oboe, fagot y saxofón

Los tubos no tienen por qué ser cilíndricos. Un cono completo, cerrado en el vértice, tiene un comportamiento sorprendente: produce la serie armónica completa, como un tubo abierto de la misma longitud:

$$f_n = n \cdot \frac{v}{2L}$$

Por eso el oboe, el fagot y el saxofón, aunque tienen una lengüeta que cierra un extremo, se comportan acústicamente como tubos abiertos: tienen armónicos pares e impares y octavan al sobresoplar. En los instrumentos reales el cono está truncado (le falta la punta, sustituida por la caña y el tudel o la boquilla), y el volumen de la boquilla hace las veces de ese vértice que falta.

Clarinete frente a flauta: quintear u octavar

Aquí está la gran diferencia práctica entre los tubos. Cuando el instrumentista abre la llave de registro o sopla más fuerte, el tubo salta a su segundo modo de vibración:

• Flauta, oboe, saxofón (serie completa): el segundo modo es el 2.º armónico. El instrumento octava: la misma digitación da la octava superior.
• Clarinete (tubo cilíndrico cerrado): el segundo modo es el 3.º armónico. El clarinete quintea: salta una duodécima (octava más quinta, 19 semitones). Por ejemplo, el Mi3 escrito, con la llave de registro, da el Si4 escrito.

Por eso el clarinete necesita más llaves que la flauta: para enlazar sus registros tiene que rellenar una duodécima, no una octava.

Comparación numérica. La nota más grave del clarinete en Si♭ suena como Re3 (146,83 Hz). Como tubo cerrado, su longitud efectiva sería $L = v/4f = 343/(4 \cdot 146{,}83) \approx 0{,}58$ m. Un tubo abierto de esa misma longitud daría 293,66 Hz (Re4), una octava más aguda. La flauta, con una longitud efectiva de unos 0,66 m (para su Do4, 261,63 Hz), no puede bajar tanto a pesar de ser algo más larga.

Los metales: boquilla y campana

Una trompeta es, en esencia, un tubo cilíndrico de unos 1,48 m cerrado por los labios del intérprete. Si fuera un cilindro puro, se comportaría como un tubo cerrado y daría solo armónicos impares de unos 58 Hz: 58, 174, 290, 406 Hz… Una serie inútil musicalmente.

La campana (que se ensancha al final) y la boquilla corrigen ese problema. La campana sube las resonancias graves y la boquilla baja las agudas, hasta que las resonancias 2.ª a 8.ª quedan casi alineadas con una serie armónica completa sobre Si♭2:

Resonancia	2	3	4	5	6	7	8
Frecuencia (Hz)	233,1	349,6	466,2	582,7	699,2	815,8	932,3
Nota real	Si♭3	Fa4	Si♭4	Re5	Fa5	La♭5*	Si♭5

* El 7.º armónico queda muy bajo respecto al temperamento igual; en la práctica se evita o se corrige.

La fundamental (Si♭2, 116,5 Hz) no corresponde a una resonancia real del tubo, pero el intérprete puede producir esa nota pedal apoyándose en los armónicos superiores. Estas notas son las que puede tocar un instrumento natural sin válvulas, como la trompa y la trompeta barrocas. Lo verás en viento metal.

El órgano y los «pies»

En el órgano, la altura de los registros se indica en pies, la longitud aproximada del tubo abierto más grave (el de la tecla Do más grave del teclado). Un pie inglés mide 0,3048 m.

Registro	Longitud nominal	Tubo abierto ideal	Nota aproximada
32′	9,75 m	17,6 Hz	Do0 (16,35 Hz)
16′	4,88 m	35,2 Hz	Do1 (32,70 Hz)
8′	2,44 m	70,3 Hz	Do2 (65,41 Hz)
4′	1,22 m	140,7 Hz	Do3 (130,81 Hz)

Fíjate en que la fórmula ideal da frecuencias algo más altas que la nota real. En la práctica, las correcciones de extremo (y sobre todo la de la boca del tubo) alargan la longitud efectiva, y la medida en pies es solo nominal. Para dar Do2 con 343 m/s, la longitud efectiva tendría que ser $343/(2 \cdot 65{,}41) \approx 2{,}62$ m.

Un tubo tapado de solo 4 pies suena a la altura de 8 pies: su fundamental es $v/4L$. Por eso los bordones permiten obtener graves con la mitad de tubo (y de metal), aunque con un timbre más oscuro y hueco.

Simulador de tubos sonoros

¿Quién formuló las leyes de los tubos sonoros?

La versión antigua de esta página atribuía las «leyes de Bernoulli» de los tubos a Johann I Bernoulli (1667-1748). Hay que matizarlo. La teoría matemática de las columnas de aire en los tubos se asocia habitualmente a su hijo, Daniel Bernoulli (1700-1782), que publicó en la década de 1760 un estudio sobre el sonido de los tubos de órgano de distintas formas. En la misma época trabajaron sobre el problema Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange. Antes, Mersenne ya había medido experimentalmente la relación entre la longitud de los tubos y su altura.

Las «leyes de Bernoulli», tal y como se enuncian en los manuales, se deducen de las fórmulas anteriores:

1. La frecuencia de un tubo, abierto o cerrado, es directamente proporcional a la velocidad del sonido (y, por tanto, sube con la temperatura).
2. La frecuencia es inversamente proporcional a la longitud del tubo.
3. A igual longitud, el tubo abierto suena una octava más agudo que el cerrado.
4. El tubo abierto produce la serie armónica completa; el cerrado, solo los armónicos impares.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Campbell, M. y Greated, C. (1987). The Musician’s Guide to Acoustics. Londres: Dent.
• Levine, H. y Schwinger, J. (1948). «On the radiation of sound from an unflanged circular pipe». Physical Review, 73(4), 383-406.
• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.