Acústica de los instrumentos de cuerda

Violín, guitarra, arpa, clave y piano parecen instrumentos muy distintos. Acústicamente comparten el mismo corazón: una cuerda tensa fija por sus dos extremos. Todo lo demás (el arco, el plectro, el martillo, la caja de madera) sirve para ponerla en vibración o para hacer audible esa vibración.

Escucha las cuatro cuerdas al aire de un violín, afinadas por quintas: Sol3, Re4, La4 y Mi5.

▶ Cuerdas al aire del violín (Sol3, Re4, La4, Mi5)

En este artículo verás de qué depende la altura de una cuerda, cómo se reparten sus armónicos y por qué la misma cuerda suena distinta pulsada, frotada o percutida.

¿Cómo vibra una cuerda?

Cuando pulsas una cuerda, la deformación viaja por ella hacia los dos extremos, se refleja y vuelve. Las ondas que van y vienen se superponen y forman ondas estacionarias: puntos que no se mueven (nodos) y zonas de máxima amplitud (vientres). Si no recuerdas bien el mecanismo, repásalo en las ondas sonoras II.

La vibración de la cuerda es transversal: cada punto se mueve perpendicularmente a la cuerda. Ojo, porque el sonido que llega a tu oído por el aire es una onda longitudinal. La cuerda y el aire vibran de forma distinta; el puente y la caja hacen de intermediarios.

Como los dos extremos están fijos, en ellos siempre hay un nodo. Solo caben en la cuerda las ondas en las que la longitud $L$ es un número entero de medias longitudes de onda:

$$L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2} \quad \Rightarrow \quad \lambda_n = \frac{2L}{n} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

Si $v$ es la velocidad de las ondas en la cuerda, la frecuencia de cada modo es $f_n = v/\lambda_n$:

$$f_n = n \cdot \frac{v}{2L} = n \cdot f_1$$

• Modo 1 (un vientre en el centro): la fundamental, $f_1$.
• Modo 2 (un nodo en el centro): la octava, $2f_1$.
• Modo 3 (dos nodos, en los tercios): la duodécima, $3f_1$.

Es decir, una cuerda ideal produce la serie armónica completa, con armónicos pares e impares. Es la base del fenómeno físico-armónico.

Las leyes de Mersenne: de qué depende la frecuencia de una cuerda

La velocidad de una onda transversal en una cuerda depende solo de dos magnitudes: la tensión $T$ y la masa por unidad de longitud $\mu$ (también llamada densidad lineal):

$$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

Sustituyendo en la fórmula anterior se obtiene la ecuación fundamental de las cuerdas vibrantes:

$$f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

donde $f_1$ es la frecuencia fundamental (Hz), $L$ la longitud vibrante (m), $T$ la tensión (N) y $\mu$ la masa por unidad de longitud (kg/m).

De ella se deducen las leyes de Mersenne:

1. Longitud. La frecuencia es inversamente proporcional a la longitud. Media cuerda suena una octava más aguda.
2. Tensión. La frecuencia es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión. Para subir una octava hay que cuadruplicar la tensión.
3. Masa. La frecuencia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa por unidad de longitud. Una cuerda cuatro veces más pesada suena una octava más grave.

Como $\mu = \rho \cdot \pi d^2/4$ (densidad del material por sección), la tercera ley tiene dos consecuencias prácticas: a igual material, la frecuencia es inversamente proporcional al diámetro; y a igual diámetro, inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del material. Por eso las cuerdas graves se entorchan con hilo metálico: se añade masa sin perder flexibilidad.

Un ejemplo real: la cuerda La de un violín

Un violín de tamaño completo tiene una longitud vibrante (del puente a la cejuela) de unos 325 mm. Una cuerda La sintética típica trabaja a unos 55 N de tensión. ¿Qué masa por unidad de longitud necesita para dar 440 Hz?

Primero, la velocidad de la onda: $v = 2Lf = 2 \cdot 0{,}325 \cdot 440 = 286$ m/s. Después:

$$\mu = \frac{T}{v^2} = \frac{55}{286^2} \approx 6{,}7 \cdot 10^{-4}\ \text{kg/m} = 0{,}67\ \text{g/m}$$

Si mantienes la misma longitud y calculas las cuatro cuerdas con tensiones parecidas, sale esta tabla orientativa:

Cuerda	Frecuencia	Tensión aprox.	μ necesaria
Sol3	196,00 Hz	45 N	2,77 g/m
Re4	293,66 Hz	45 N	1,24 g/m
La4	440,00 Hz	55 N	0,67 g/m
Mi5	659,26 Hz	75 N	0,41 g/m

Longitud vibrante de 0,325 m. Las tensiones son valores típicos; cada marca y modelo de cuerda tiene los suyos.

La cuerda Sol pesa casi siete veces más por metro que la Mi. Con la tensión repartida de forma parecida, esa diferencia de masa es lo que permite abarcar casi dos octavas con cuerdas de igual longitud. Una cuerda Mi de acero macizo con esa masa tendría unos 0,26 mm de diámetro.

¿Y al pisar la cuerda? Acortar la cuerda es aplicar la primera ley. Para subir un semitono temperado la longitud debe dividirse entre $2^{1/12}$: el dedo tiene que colocarse a unos 18 mm de la cejuela en la cuerda La. Para un tono, a unos 35 mm. Por eso los trastes de la guitarra se juntan según subes por el mástil.

¿Y al afinar? Tensar la cuerda un 10 % sube la frecuencia un $\sqrt{1{,}1} \approx 1{,}049$, es decir, unos 82 cents. Casi un semitono con muy poca variación de tensión: por eso las clavijas y los afinadores finos son tan sensibles.

Cuerda pulsada, frotada y percutida

La fórmula de Mersenne dice qué frecuencias puede producir una cuerda. El modo de excitarla decide con qué intensidad suena cada una. Aquí está gran parte del timbre.

Cuerda pulsada (guitarra, arpa, clave, laúd)

El dedo o el plectro desplaza la cuerda en un punto y la suelta. La cuerda parte de una forma triangular con el vértice en el punto de pulsación. Si ese punto está a una fracción $\beta = x_0/L$ de la longitud, la amplitud de cada armónico es proporcional a:

$$A_n \propto \frac{\sin(n \pi \beta)}{n^2}$$

Dos consecuencias importantes:

• Los armónicos decaen como $1/n^2$: una cuerda pulsada tiene un sonido relativamente suave.
• Faltan los armónicos que tienen un nodo en el punto de pulsación. Si pulsas en el centro ($\beta = 1/2$), desaparecen todos los pares; si pulsas a 1/5 de la longitud, desaparecen el 5.º, el 10.º, el 15.º…

Armónico	Pulsada en el centro (β = 1/2)	Pulsada a 1/5	Pulsada a 1/10
1	1,00	1,00	1,00
2	0	0,40	0,48
3	0,11	0,18	0,29
4	0	0,06	0,19
5	0,04	0	0,13
6	0	0,03	0,09

Amplitud de cada armónico respecto a la fundamental (cuerda ideal).

Escucha la diferencia. La onda triangular tiene exactamente el espectro de una cuerda pulsada en el centro: solo armónicos impares que caen como $1/n^2$. La onda en diente de sierra, con todos los armónicos, se parece más a una cuerda excitada cerca del extremo.

▶ Espectro de cuerda pulsada en el centro (onda triangular) ▶ Espectro rico en armónicos (diente de sierra)

Cuerda frotada: el movimiento de Helmholtz (violín, viola, violonchelo, contrabajo)

El arco no pulsa la cuerda una vez, sino que la mantiene vibrando. La colofonía hace que el pelo del arco y la cuerda alternen dos fases:

1. Adherencia: la cuerda se pega al arco y es arrastrada con él.
2. Deslizamiento: la cuerda se suelta y retrocede rápidamente.

Hermann von Helmholtz observó en 1863, con un microscopio de vibración, que la cuerda frotada toma la forma de dos rectas unidas por un vértice que recorre la cuerda de un extremo a otro, una vez en cada periodo. Es el movimiento de Helmholtz. La fuerza que la cuerda ejerce sobre el puente es una onda en diente de sierra, con todos los armónicos y amplitudes que decaen como $1/n$, más despacio que en la cuerda pulsada. Por eso el sonido del violín es tan rico en armónicos.

Además, como el arco mantiene la oscilación, los armónicos quedan exactamente sincronizados con la fundamental, y la nota se sostiene tanto como dura el golpe de arco. Para que se forme un buen movimiento de Helmholtz, la presión del arco tiene que estar entre un mínimo y un máximo que dependen de la distancia al puente. Con demasiada presión, la nota «cruje»; con demasiado poca, suena aireada o salta a un armónico.

Cuerda percutida (piano, címbalo, salterio)

Un martillo golpea la cuerda y se separa enseguida. En el caso ideal de un golpe muy breve y puntual, las amplitudes siguen la ley:

$$A_n \propto \frac{\sin(n \pi \beta)}{n}$$

Los armónicos decaen como $1/n$, más lentamente que en la cuerda pulsada, y de nuevo faltan los que tienen un nodo en el punto de golpeo. En la práctica, el fieltro del martillo es blando y permanece un tiempo en contacto con la cuerda: cuanto más fuerte golpeas, más duro se comporta el fieltro y más armónicos agudos aparecen. Por eso un acorde en fortissimo no solo suena más fuerte, sino también más brillante.

En el piano los martillos suelen golpear hacia 1/7 o 1/9 de la longitud de la cuerda. Lo verás con detalle en la acústica del piano, junto con la inarmonicidad de sus cuerdas.

La caja de resonancia: por qué la cuerda sola casi no suena

Una cuerda de violín mide menos de un milímetro de grosor, mientras que la longitud de onda del La4 en el aire es de unos 78 cm. Al moverse, la cuerda apenas empuja aire: este la «rodea» en lugar de comprimirse. Una cuerda sola, tensada entre dos soportes rígidos, se oye muy poco.

La solución es la caja de resonancia:

1. La cuerda transmite su vibración al puente.
2. El puente mueve la tapa armónica, una superficie grande y ligera.
3. La tapa, el fondo y el aire interior radian el sonido con mucha más eficacia.

La caja no amplifica por igual todas las frecuencias. Tiene sus propias resonancias (de la madera y del aire interior) que refuerzan unas zonas del espectro y atenúan otras. Esa respuesta en frecuencia es la «huella» del instrumento, y es lo que distingue un buen violín de uno mediocre con las mismas cuerdas.

• En la guitarra clásica, la resonancia principal del aire de la caja (la que sale por la boca) suele estar en torno a los 100 Hz, y refuerza los graves.
• En el violín, la resonancia principal del aire está hacia los 270-280 Hz, y las principales de la madera, entre unos 450 y 550 Hz.
• En el violonchelo, cuando una nota coincide con una resonancia muy fuerte del cuerpo, la cuerda y la caja se «pelean» y aparece la nota del lobo, un sonido inestable que tartamudea.

Simulador de ondas estacionarias

Armónicos naturales en la práctica

Si rozas (sin pisar) una cuerda en un punto, impones allí un nodo. Solo sobreviven los modos que tienen un nodo en ese punto:

• En la mitad de la cuerda: suena el 2.º armónico (octava).
• En un tercio: el 3.º (octava más quinta).
• En un cuarto: el 4.º (dos octavas).

Es la técnica de los armónicos naturales o flageolets, que se oye en el arpa, la guitarra y la cuerda frotada.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Mersenne, M. (1636-1637). Harmonie universelle. París: Sébastien Cramoisy.
• Helmholtz, H. von (1863). Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Brunswick: Vieweg.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Cremer, L. (1984). The Physics of the Violin. Cambridge (Mass.): MIT Press.
• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.
• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.