Movimiento armónico simple, frecuencia, periodo y amplitud

Un diapasón recién golpeado, la masa que cuelga de un muelle y el péndulo de un metrónomo mecánico tienen algo en común: los tres oscilan siguiendo el mismo patrón matemático, el movimiento armónico simple (MAS). Es el movimiento más sencillo que existe y, a la vez, el ladrillo con el que se construye cualquier sonido musical.

Escucha el sonido que produce un MAS y compáralo con otros movimientos vibratorios de la misma frecuencia pero más complejos:

▶ MAS puro: senoide de 440 Hz ▶ Onda triangular de 440 Hz ▶ Onda en diente de sierra de 440 Hz

Los tres tienen la misma altura (La4) porque se repiten 440 veces por segundo. Lo que cambia es la forma de la vibración, y con ella el timbre.

¿Qué es el movimiento armónico simple?

Un cuerpo describe un movimiento armónico simple cuando oscila alrededor de su posición de equilibrio empujado por una fuerza recuperadora proporcional a su desplazamiento y de sentido contrario. Cuanto más lo separas del equilibrio, con más fuerza tiende a volver.

• Es armónico porque su posición a lo largo del tiempo se describe con una función seno (o coseno).
• Es simple porque tiene una sola frecuencia, frente al movimiento complejo, que es la suma de varias.

El ciclo funciona así: la fuerza recuperadora acelera el cuerpo hacia el centro; al llegar al punto de equilibrio la fuerza es nula, pero el cuerpo lleva su máxima velocidad y la inercia lo hace pasar de largo; al otro lado la fuerza lo frena, lo detiene en el extremo y lo devuelve. Si no hubiera rozamiento, la oscilación seguiría indefinidamente.

La ley de Hooke

La fuerza recuperadora de un muelle, una cuerda tensa o una lámina elástica sigue, para desplazamientos pequeños, la ley de Hooke:

$$F = -k \cdot x$$

• $F$: fuerza recuperadora, en newtons (N).
• $k$: constante elástica o de rigidez, en N/m. Cuanto mayor, más «dura» es la pieza.
• $x$: desplazamiento respecto al equilibrio, en metros (m).
• El signo menos indica que la fuerza siempre apunta hacia la posición de equilibrio.

La ley solo se cumple mientras no se supera el límite de elasticidad del material. Si estiras demasiado un muelle o tensas demasiado una cuerda, se deforma para siempre o se rompe.

Para una masa $m$ unida a un muelle de constante $k$, la frecuencia de oscilación es:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Fíjate en dos consecuencias con mucho sentido musical: una pieza más rígida (mayor $k$) vibra más aguda y una más pesada (mayor $m$), más grave. Es la razón por la que las cuerdas graves del piano llevan un entorchado de cobre que les añade masa, y por la que las láminas de una marimba se afinan rebajando madera por su cara inferior, lo que modifica a la vez su rigidez y su masa.

La ecuación del movimiento armónico simple

La posición del cuerpo en cada instante viene dada por:

$$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \varphi_0) \qquad \text{con} \qquad \omega = 2\pi f$$

• $x(t)$: elongación, la posición en el instante $t$ (m).
• $A$: amplitud, la elongación máxima (m).
• $\omega$: frecuencia angular, en radianes por segundo (rad/s).
• $f$: frecuencia (Hz).
• $\varphi_0$: fase inicial, en radianes (rad).

Si representas $x(t)$ frente al tiempo obtienes una senoide, la forma de onda de un sonido puro. Esa curva es la misma que dibuja la proyección de un punto que gira a velocidad constante sobre una circunferencia: cada vuelta completa (360° o $2\pi$ rad) es un ciclo.

A partir de la ecuación se deducen la velocidad y la aceleración:

$$v_{max} = A\,\omega \qquad\qquad a(t) = -\omega^2\, x(t)$$

La velocidad es máxima al pasar por el equilibrio y nula en los extremos. La aceleración es justo al revés.

Las magnitudes del movimiento vibratorio

Estas son las magnitudes que usarás constantemente para describir el sonido, sus cualidades, la serie armónica o el timbre:

Magnitud	Símbolo	Definición	Unidad SI
Ciclo	—	Recorrido completo desde una posición hasta volver a ella con el mismo sentido	—
Elongación	$x$	Distancia al punto de equilibrio en un instante dado	m
Amplitud	$A$	Elongación máxima. La distancia entre los dos extremos es $2A$	m
Periodo	$T$	Tiempo que dura un ciclo	s
Frecuencia	$f$	Ciclos por segundo	Hz (s⁻¹)
Frecuencia angular	$\omega$	$2\pi f$: radianes recorridos por segundo	rad/s
Fase	$\varphi$	Punto del ciclo en que se encuentra la vibración	rad o grados

En una onda sonora en el aire la amplitud puede expresarse como desplazamiento de las partículas (m) o, más a menudo, como amplitud de presión (Pa). La amplitud está ligada a la intensidad; la frecuencia, a la altura.

Relación entre frecuencia y periodo

Frecuencia y periodo son inversamente proporcionales:

$$T = \frac{1}{f} \qquad\Longleftrightarrow\qquad f = \frac{1}{T}$$

Cuanto más aguda es una nota, más corto es su ciclo. Mira algunos ejemplos del piano (índice acústico internacional, La4 = 440 Hz):

Nota	Frecuencia (Hz)	Periodo
La0 (tecla más grave del piano)	27,50	36,36 ms
Do2	65,41	15,29 ms
Do4 (do central)	261,63	3,82 ms
La4 (diapasón)	440,00	2,27 ms
La5	880,00	1,14 ms
Do8 (tecla más aguda del piano)	4186,01	0,24 ms

Subir una octava duplica la frecuencia y reduce el periodo a la mitad. Puedes calcular la frecuencia de cualquier nota con la calculadora de frecuencias.

La fase

La fase indica en qué momento de su ciclo se encuentra una vibración. Como un ciclo equivale a una vuelta completa, la fase se mide en grados (0° a 360°) o en radianes (0 a $2\pi$). Lo verdaderamente importante en acústica es la diferencia de fase entre dos vibraciones de la misma frecuencia:

• Desfase de 0°: están en fase, sus máximos coinciden.
• Desfase de 180°: están en oposición de fase, el máximo de una coincide con el mínimo de la otra.

Si una onda va retrasada un tiempo $\Delta t$ respecto a otra, su desfase es:

$$\Delta\varphi = 360^\circ \cdot f \cdot \Delta t$$

Movimiento vibratorio simple y complejo

Movimiento vibratorio simple

Un cuerpo que realiza un MAS produce un sonido puro o tono simple: una sola frecuencia, con forma de onda senoidal. Es poco habitual en la práctica musical, pero existe. El diapasón se le acerca mucho una vez pasado el golpe inicial, y también un silbido suave o la flauta en su registro agudo tocada piano. Los osciladores electrónicos lo producen con gran pureza.

Movimiento vibratorio complejo

Casi todos los sonidos musicales son complejos: su forma de onda se repite (son periódicos), pero no es una senoide. Aquí entra uno de los resultados más importantes de la acústica.

Teorema de Fourier. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) demostró que cualquier movimiento periódico de periodo $T$ y frecuencia $f$ puede expresarse como una suma de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son $f, 2f, 3f, 4f\dots$ (y cuyos periodos son $T, T/2, T/3\dots$):

$$x(t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2\pi n f t + \varphi_n)$$

Funciona en los dos sentidos. Una forma de onda compleja se puede descomponer en senoides (análisis) y, sumando senoides, se puede construir cualquier forma de onda periódica (síntesis aditiva). Cada una de esas senoides es un armónico. Así, la onda en diente de sierra que has escuchado al principio contiene todos los armónicos, con amplitudes $A_n$ proporcionales a $1/n$, y la triangular solo los impares, con amplitudes proporcionales a $1/n^2$. Lo desarrollamos en el fenómeno físico-armónico y la serie armónica.

▶ Suma de 5 senoides: 220, 440, 660, 880 y 1100 Hz

Aunque suenan cinco frecuencias a la vez, el oído las funde en una sola nota de 220 Hz con un timbre más rico.

Oscilaciones reales: el amortiguamiento

El MAS es un modelo ideal. En un instrumento real la energía se pierde por rozamiento interno y, sobre todo, porque el cuerpo la cede al aire en forma de sonido. La amplitud disminuye con el tiempo: es una oscilación amortiguada. Una nota de piano o de guitarra se apaga por eso. En el violín, la flauta o el órgano, el músico (o el fuelle) repone la energía continuamente y la nota se sostiene todo el tiempo que quiera.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3.ª ed.). San Francisco: Addison-Wesley.
• Tipler, P. A. y Mosca, G. (2010). Física para la ciencia y la tecnología (6.ª ed.). Barcelona: Reverté.
• Hooke, R. (1678). Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring. Londres.