Ondas estacionarias y principio de superposición

¿Por qué una cuerda de guitarra da un La y no cualquier otra nota? ¿Por qué, si la rozas justo en el traste 12, suena una octava más aguda? ¿Por qué en algunos puntos de una sala los graves retumban y en otros casi desaparecen? Las tres preguntas tienen la misma respuesta: las ondas se suman. Y cuando se suman de una manera muy concreta, forman ondas estacionarias.

Empieza escuchando qué pasa cuando suenan juntas dos frecuencias casi iguales:

▶ 440 Hz + 443 Hz: 3 pulsaciones por segundo

No oyes dos notas, sino una sola cuyo volumen sube y baja tres veces por segundo. Es la superposición de ondas en acción.

El principio de superposición

Cuando dos o más ondas coinciden en el mismo punto del medio, el desplazamiento (o la presión) resultante es la suma algebraica de los que produciría cada onda por separado:

$$y(x,t) = y_1(x,t) + y_2(x,t)$$

Hay dos ideas importantes aquí:

• Las ondas se atraviesan sin alterarse. En la zona donde coinciden se suman, pero después cada una sigue su camino como si la otra no existiera. Por eso en un concierto puedes distinguir el oboe y el violonchelo aunque sus ondas se crucen constantemente.
• El principio es exacto solo en medios lineales, es decir, con amplitudes pequeñas. Todo el sonido musical cotidiano cumple esa condición. A niveles muy altos (una explosión, el interior de una trompeta en fortissimo) aparecen efectos no lineales.

El principio de superposición vale para todo tipo de ondas: sonido, ondas en cuerdas, luz y ondas de radio.

La interferencia: constructiva y destructiva

Llamamos interferencia al resultado de superponer ondas. Si son de la misma frecuencia, lo que ocurre depende de su diferencia de fase:

Situación	Desfase	Resultado
Dos ondas iguales en fase	0°	Interferencia constructiva: amplitud doble
Misma fase, amplitudes distintas $A_1$ y $A_2$	0°	Amplitud $A_1 + A_2$
Oposición de fase, amplitudes distintas	180°	Interferencia destructiva: amplitud $\lvert A_1 - A_2 \rvert$
Oposición de fase, amplitudes iguales	180°	Anulación total: amplitud 0
Cualquier otro desfase	entre 0° y 180°	Amplitud intermedia

Cuando las ondas vienen de dos fuentes que emiten en fase, el desfase depende de la diferencia de caminos $\Delta d$ que recorre cada una hasta el oyente:

• interferencia constructiva si $\Delta d = n\,\lambda$ (un número entero de longitudes de onda);
• interferencia destructiva si $\Delta d = (n + \tfrac12)\,\lambda$ (un número entero más media longitud de onda).

¿Qué es una onda estacionaria?

Una onda estacionaria es un caso especial de interferencia. Se forma cuando dos ondas de igual frecuencia y amplitud viajan en sentidos opuestos por el mismo medio. En los instrumentos ocurre de forma natural: la onda llega al extremo de la cuerda o del tubo, se refleja y se superpone con la que llega.

El resultado ya no parece avanzar. La cuerda vibra «en el sitio», formando husos que crecen, se anulan y se invierten. De ahí el nombre de estacionaria. Matemáticamente, si sumas una onda que va hacia la derecha y otra igual que va hacia la izquierda:

$$y(x,t) = 2A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t) \qquad \text{con} \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f$$

Fíjate en que la posición $x$ y el tiempo $t$ aparecen separados. Cada punto de la cuerda oscila con la misma frecuencia $f$, pero con una amplitud distinta, $2A\,\lvert\sin(kx)\rvert$, que depende de dónde esté.

Nodos y vientres

• Nodos: puntos donde la amplitud es siempre cero. No vibran nunca.
• Vientres (o antinodos): puntos donde la amplitud es máxima, el doble de la de cada onda por separado, $2A$.

Sus distancias son siempre las mismas:

Entre…	Distancia
Dos nodos consecutivos	$\lambda/2$
Dos vientres consecutivos	$\lambda/2$
Un nodo y el vientre contiguo	$\lambda/4$

Otras propiedades: la longitud de onda de la onda estacionaria es la misma que la de las ondas que la forman, y no transporta energía de un extremo a otro, porque la energía queda «atrapada» oscilando entre nodos. En un instrumento real sí se escapa una pequeña parte, que es precisamente la que oímos.

Ondas estacionarias en una cuerda

Una cuerda fija por los dos extremos (en el puente y en la cejuela, o en el traste que pisas) tiene un nodo obligatorio en cada extremo. Solo caben las ondas estacionarias que encajan con esa condición: un huso, dos, tres… Como entre nodos hay $\lambda/2$, la longitud $L$ de la cuerda debe ser un múltiplo de media longitud de onda:

$$L = n\,\frac{\lambda_n}{2} \qquad \Rightarrow \qquad f_n = n\,\frac{v}{2L} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

• $L$: longitud vibrante (m).
• $v$: velocidad de las ondas transversales en la cuerda (m/s). No es la velocidad del sonido en el aire: depende de la tensión y de la masa de la cuerda, como verás en las leyes de Mersenne.
• $n$: número de husos, que coincide con el número de armónico.

Esta es la base física de la serie armónica: las frecuencias posibles son $f_1, 2f_1, 3f_1\dots$

Ejemplo con una guitarra. La quinta cuerda al aire da el La2 (110 Hz) y tiene una longitud vibrante de unos 65 cm. Su modo fundamental tiene un solo huso, con $\lambda_1 = 2L = 1{,}30$ m, y la velocidad de la onda en la cuerda es $v = \lambda_1 f_1 = 1{,}30 \cdot 110 = 143$ m/s.

• El 2.º armónico (220 Hz) tiene un nodo justo en la mitad de la cuerda, en el traste 12.
• El 3.º armónico (330 Hz) tiene nodos a un tercio y a dos tercios, cerca del traste 7 y del traste 19.

Si rozas la cuerda con el dedo en el traste 12, sin pisarla, fuerzas un nodo en ese punto: los modos que tienen ahí un vientre (el 1.º, el 3.º, el 5.º…) se apagan y sobreviven los que tienen un nodo (2.º, 4.º, 6.º…). Suena una octava más aguda con un timbre aflautado. Son los armónicos naturales que usan guitarristas, violinistas y arpistas.

▶ Modos 1 a 4 de la cuerda de La2: 110, 220, 330 y 440 Hz

Ondas estacionarias en tubos sonoros

En una columna de aire también se forman ondas estacionarias, en este caso longitudinales. En un extremo abierto la presión es casi igual a la atmosférica (nodo de presión, vientre de desplazamiento). En un extremo cerrado el aire no puede moverse (nodo de desplazamiento, vientre de presión).

Tipo de tubo	Frecuencias posibles	Armónicos presentes	Ejemplo
Abierto por los dos extremos	$f_n = n\,\dfrac{v}{2L}$	Todos	Flauta travesera, tubos abiertos del órgano
Cerrado por un extremo	$f_n = (2n-1)\,\dfrac{v}{4L}$	Solo impares	Clarinete (aproximadamente), tubos tapados del órgano

Aquí $v$ sí es la velocidad del sonido en el aire. Con $v = 343{,}4$ m/s, la longitud acústica de un tubo abierto que dé el Do4 (261,63 Hz) es $L = v/(2f) \approx 0{,}66$ m. La de un tubo cerrado que dé el Re3 (146,83 Hz), la nota más grave del clarinete en Si♭, es $L = v/(4f) \approx 0{,}58$ m. Dos instrumentos de tamaño parecido, pero el clarinete suena casi una octava más grave que la flauta: es la ventaja del tubo cerrado. Lo estudiarás a fondo en los tubos sonoros.

En una sala ocurre algo parecido en tres dimensiones. Entre dos paredes paralelas se forman ondas estacionarias a frecuencias concretas: los modos propios de la sala. Por eso, en un aula o en un estudio pequeño, un mismo grave puede sonar exagerado en un rincón y casi desaparecer en el centro.

Pulsaciones o batimientos

Hasta ahora hemos sumado ondas de la misma frecuencia. ¿Qué pasa si las frecuencias $f_1$ y $f_2$ son ligeramente distintas? Las ondas entran en fase y salen de ella de forma periódica. Cuando coinciden, se refuerzan; medio ciclo de batimiento después, se anulan. El oído percibe una sola nota, de frecuencia media $(f_1 + f_2)/2$, cuya intensidad sube y baja. Son las pulsaciones o batimientos, y su frecuencia es:

$$f_{bat} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$$ ▶ 440 + 441 Hz: 1 batimiento por segundo ▶ 440 + 446 Hz: 6 batimientos por segundo

Cuando la diferencia supera unos 15-20 Hz ya no se oyen como pulsaciones, sino como una aspereza o rugosidad. Si la separación sigue aumentando, acabas percibiendo dos notas distintas. Esa transición está en la base de la percepción de la consonancia y la disonancia.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3.ª ed.). San Francisco: Addison-Wesley.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.