El fenómeno físico-armónico y la serie armónica

El fenómeno físico-armónico es una de las bases de la acústica musical. Explica por qué dos instrumentos que tocan la misma nota suenan distintos, por qué la octava y la quinta nos parecen tan «naturales» y de dónde parten casi todos los sistemas de afinación de la historia.

Escucha primero la diferencia entre un sonido puro (una única frecuencia) y un sonido complejo con la misma altura:

▶ Sonido puro: La3 (220 Hz) ▶ Sonido complejo: La3 con armónicos

Los dos tienen la misma altura, pero el segundo suena más «lleno» porque contiene, además de los 220 Hz, componentes en 440, 660, 880 Hz… Eso es el fenómeno físico-armónico.

¿Qué es el fenómeno físico-armónico?

Cuando una cuerda fija por sus dos extremos vibra, no lo hace solo en toda su longitud: a la vez vibra por mitades, por tercios, por cuartos… Cada una de esas formas de vibrar (llamadas modos) produce una frecuencia distinta:

• la cuerda entera produce la fundamental, $f_1$;
• las mitades, una frecuencia doble, $2f_1$;
• los tercios, una triple, $3f_1$; y así sucesivamente.

Todas esas frecuencias suenan a la vez y el oído las funde en una sola nota, cuya altura percibimos como la de la fundamental. El conjunto de componentes se llama serie armónica:

$$f_n = n \cdot f_1 \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$$

donde $f_n$ es la frecuencia del armónico número $n$ y $f_1$ la de la fundamental. Lo mismo ocurre en la columna de aire de un tubo sonoro: el origen físico está en las ondas estacionarias que se forman en la cuerda o en el tubo.

El teorema de Fourier: la explicación matemática

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) demostró que cualquier movimiento periódico, por complejo que sea, puede descomponerse en una suma de ondas senoidales cuyas frecuencias son múltiplos enteros de la frecuencia del movimiento:

$$x(t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(2\pi n f_1 t + \varphi_n)$$

Cada término de la suma es un armónico, con su amplitud $A_n$ y su fase $\varphi_n$. Es la base matemática del fenómeno físico-armónico. Y funciona en los dos sentidos: sumando senos se puede construir cualquier forma de onda periódica (síntesis aditiva). Puedes comprobarlo en el explorador de más abajo.

Un sonido puro (una sola sinusoide) es muy raro en la naturaleza. El diapasón es lo más parecido, y por eso se usa como referencia de afinación. Casi todos los sonidos musicales son complejos.

Sonidos armónicos e inarmónicos

• Sonidos armónicos: sus componentes son múltiplos exactos (o casi) de la fundamental. Son los de las cuerdas, los vientos y la voz. Tienen una altura clara.
• Sonidos inarmónicos: sus componentes (parciales) no guardan esa proporción. Son los de las campanas, platos, gongs y muchas placas y membranas. Su altura es difusa o ambigua.

La serie armónica en el pentagrama

Si partimos de Do2 (65,41 Hz, con La4 = 440 Hz) y multiplicamos, obtenemos esta sucesión de notas:

Nº	Nota	Frecuencia	Intervalo con el anterior	Razón
1	Do2	65,41 Hz	—	—
2	Do3	130,81 Hz	8ª justa	2/1
3	Sol3	196,22 Hz	5ª justa	3/2
4	Do4	261,63 Hz	4ª justa	4/3
5	Mi4	327,03 Hz	3ª mayor	5/4
6	Sol4	392,44 Hz	3ª menor	6/5
7	Si♭4*	457,85 Hz	3ª menor «estrecha»	7/6
8	Do5	523,25 Hz	2ª mayor «ancha»	8/7
9	Re5	588,66 Hz	2ª mayor	9/8
10	Mi5	654,06 Hz	2ª mayor	10/9
11	Fa♯5*	719,47 Hz	2ª neutra	11/10
12	Sol5	784,88 Hz	2ª neutra	12/11
13	La♭5*	850,28 Hz	2ª	13/12
14	Si♭5*	915,69 Hz	2ª	14/13
15	Si5	981,10 Hz	2ª	15/14
16	Do6	1046,50 Hz	2ª menor	16/15

* Armónicos claramente alejados del temperamento igual.

Fíjate en tres regularidades:

1. Los intervalos se estrechan según subimos: octava, quinta, cuarta, terceras, segundas… Por encima del 16.º armónico, los intervalos ya son más pequeños que un semitono.
2. Duplicar el número = subir una octava. Los armónicos 1, 2, 4, 8, 16 son todos Do; los 3, 6, 12 son Sol; los 5, 10, Mi. Un buen truco de cálculo es memorizar los impares y duplicar.
3. Los armónicos 4, 5 y 6 forman un acorde mayor perfecto (Do-Mi-Sol), en la razón 4:5:6. Rameau vio aquí el fundamento «natural» de la armonía tonal.

▶ Escuchar los 8 primeros armónicos de Do2

Armónicos «desafinados»

Las notas de la serie armónica siguen razones naturales, pero el piano está afinado en temperamento igual. Casi todas coinciden bastante bien. Algunas no:

Armónico	Nota escrita	Desviación respecto al piano
3	Sol	+2 cents
5	Mi	−14 cents
7	Si♭	−31 cents
11	Fa♯	−49 cents (¡casi un cuarto de tono!)
13	La♭	+41 cents

Un cent es la centésima parte de un semitono temperado. Estas pequeñas diferencias entre la afinación natural y la temperada son el motor de toda la historia de los sistemas de afinación: desde la afinación pitagórica, basada en la quinta (3/2), hasta la afinación de Zarlino, que incorpora la tercera natural (5/4).

Explora la serie armónica

Elige cualquier fundamental y escucha sus armónicos uno a uno o sumados. Activa y desactiva armónicos para ver cómo cambian la forma de onda y el timbre.

Explorador de la serie armónica

Abrir a pantalla completa →

Fundamental Octava (internacional)1234Armónicos812162432La4 de referencia (Hz) Índice acústico

Pulsa una nota para oírla. Arriba: desviación en cents respecto al piano (temperamento igual). En negro: armónicos que se desvían más de 20 cents.

▶ Fundamental▶ Armónicos uno a uno▶ Escuchar la suma

Síntesis aditiva: elige qué armónicos suenan (amplitud 1/n)

Todos (≈ diente de sierra)Solo impares (≈ onda cuadrada)Solo la fundamental (seno)

Nº	Nota	Frecuencia (Hz)	Intervalo	Cents	Escuchar

🔊 Empieza con el volumen bajo. El sonido se genera en tu navegador.

Cómo calcular la serie armónica de cualquier nota

1. Averigua la frecuencia de la fundamental. Puedes usar la calculadora de frecuencias de notas o la fórmula $f = 440 \cdot 2^{(m-69)/12}$, siendo $m$ el número MIDI de la nota.
2. Multiplica por el número de armónico: $f_n = n \cdot f_1$.
3. Para saber la nota, recuerda el patrón de intervalos sobre la fundamental: 8ª, 5ª, 8ª, 3ªM, 5ª, 7ªm, 8ª, 2ªM, 3ªM, 4ª aum., 5ª, 6ªm, 7ªm, 7ªM, 8ª…

Ejemplo: serie armónica de La1 (55 Hz):

$$55 \to 110 \to 165 \to 220 \to 275 \to 330 \to 385 \to 440\ \text{Hz}$$

Es decir: La1, La2, Mi3, La3, Do♯4, Mi4, Sol4 (bajo), La4. El octavo armónico de La1 es precisamente el La 440 del diapasón.

El fenómeno físico-armónico en la práctica musical

• Timbre. Cada instrumento refuerza unos armónicos y atenúa otros. El clarinete, que acústicamente se comporta como un tubo cerrado, tiene en su registro grave armónicos impares muy dominantes, y por eso suena «hueco». Lo verás en el artículo sobre el timbre.
• Instrumentos naturales. La trompa y la trompeta naturales (sin válvulas) solo pueden tocar las notas de la serie armónica de su tubo. Britten aprovecha el sonido «desafinado» de armónicos como el 7.º y el 11.º en el Prólogo de su Serenade op. 31, escrito para trompa natural.
• Armónicos en cuerda. Si rozas una cuerda justo en la mitad, el tercio o el cuarto de su longitud, anulas la fundamental y suena el 2.º, 3.º o 4.º armónico (sonidos de flautín o flageolet).
• Canto difónico. En el canto armónico tuvano o mongol, el cantante filtra con la boca un armónico concreto de su voz hasta que se oye como una melodía aparte.
• Música espectral. Compositores como Gérard Grisey (Partiels, 1975) construyen obras enteras a partir del análisis espectral de un sonido.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Olazábal, T. de. Acústica musical y organología. Buenos Aires: Ricordi.
• Helmholtz, H. von (1863). Die Lehre von den Tonempfindungen.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.
• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.