El temperamento igual: fórmula, cálculo e historia

El temperamento igual es el sistema con el que está afinado casi todo lo que escuchas hoy: el piano, la guitarra, los sintetizadores y la mayoría de la música grabada. Su idea es simple y radical: dividir la octava en 12 semitonos exactamente iguales. Así desaparece la quinta del lobo y todas las tonalidades suenan igual de bien, o igual de «regular», porque a cambio ningún intervalo salvo la octava queda puro.

Escucha la escala cromática temperada de Do4 a Do5. Todos los pasos son idénticos:

▶ Escala cromática temperada Do4 - Do5

¿Qué significa que un temperamento sea «igual»?

Temperar es modificar ligeramente algunos intervalos puros para repartir una coma. Ya lo has visto en los capítulos anteriores: con quintas puras (afinación pitagórica) sobra una coma pitagórica al cerrar el ciclo; con terceras puras (afinación de Zarlino) aparece la coma sintónica en cuanto modulas.

Los temperamentos anteriores reparten esas comas de forma desigual: unas quintas más estrechas que otras, unas tonalidades mejores que otras. El temperamento igual reparte la coma pitagórica a partes iguales entre las doce quintas:

$$701{,}955 - \frac{23{,}460}{12} = 701{,}955 - 1{,}955 = 700\ \text{cents}$$

Cada quinta queda 1,96 cents más estrecha que la pura, y doce de ellas suman exactamente siete octavas. El ciclo de quintas, ahora sí, se cierra como un círculo.

La fórmula del temperamento igual

Si los 12 semitonos son iguales y juntos forman una octava (razón 2), cada semitono debe cumplir $x^{12} = 2$. Por tanto:

$$x = \sqrt[12]{2} = 2^{1/12} \approx 1{,}059463$$

Un intervalo de $n$ semitonos tiene la razón $2^{n/12}$. Y la frecuencia de cualquier nota, tomando como referencia el La4 = 440 Hz del diapasón:

$$f = 440 \cdot 2^{n/12}\ \text{Hz}$$

donde $f$ es la frecuencia en hercios y $n$ el número de semitonos que separan la nota del La4 (positivo hacia el agudo, negativo hacia el grave). Si trabajas con números MIDI ($m$, con La4 = 69), la fórmula equivalente es $f = 440 \cdot 2^{(m-69)/12}$.

Ejemplo. El Do4 está 9 semitonos por debajo del La4:

$$f_{\text{Do4}} = 440 \cdot 2^{-9/12} \approx 261{,}63\ \text{Hz}$$

Y al revés, para saber cuántos semitonos separan dos frecuencias:

$$n = 12 \cdot \log_2 \frac{f_2}{f_1}$$

Tienes la tabla completa de todas las notas del piano en frecuencia de las notas musicales.

Los cents

El temperamento igual es también la base de la unidad con la que se miden los intervalos. El cent, propuesto por Alexander J. Ellis en 1885, es la centésima parte de un semitono temperado. La octava tiene 1200 cents:

$$c = 1200 \cdot \log_2 \frac{f_2}{f_1}$$

Con esta unidad, cualquier intervalo temperado es un múltiplo exacto de 100. Lo desarrollamos en qué son los cents.

Tabla de razones temperadas y desviaciones

Esta es la tabla clave para entender qué se gana y qué se pierde. La columna de desviación indica cuánto se aparta el intervalo temperado del intervalo puro de referencia (positivo = temperado más ancho).

Semitonos	Intervalo	Razón temperada	Cents	Intervalo puro	Cents puro	Desviación
1	2ª menor	1,059463	100	16/15	111,73	−11,73
2	2ª mayor	1,122462	200	9/8	203,91	−3,91
3	3ª menor	1,189207	300	6/5	315,64	−15,64
4	3ª mayor	1,259921	400	5/4	386,31	+13,69
5	4ª justa	1,334840	500	4/3	498,04	+1,96
6	Tritono	1,414214	600	45/32	590,22	+9,78
7	5ª justa	1,498307	700	3/2	701,96	−1,96
8	6ª menor	1,587401	800	8/5	813,69	−13,69
9	6ª mayor	1,681793	900	5/3	884,36	+15,64
10	7ª menor	1,781797	1000	16/9	996,09	+3,91
11	7ª mayor	1,887749	1100	15/8	1088,27	+11,73
12	Octava	2	1200	2/1	1200,00	0,00

Fíjate:

• Quintas y cuartas son casi puras (menos de 2 cents de error).
• Terceras y sextas son las grandes sacrificadas: se desvían entre 13 y 16 cents, entre la sexta y la octava parte de un semitono.
• Para la séptima menor hemos tomado 16/9. Si se compara con 9/5, la desviación es −17,60 cents, y frente al 7.º armónico (7/4) llega a +31 cents.

Oír la diferencia: los batimientos

Una tercera mayor temperada Do4 - Mi4 (261,63 y 329,63 Hz) hace que el 5.º armónico de Do (1308,13 Hz) y el 4.º de Mi (1318,51 Hz) choquen, con unos 10,4 batimientos por segundo. La tercera pura no bate. En la quinta temperada Do4 - Sol4, los batimientos bajan a menos de uno por segundo (0,89 Hz). Más detalles en batimientos e interferencias.

▶ Tercera mayor temperada Do4 - Mi4 ▶ Tercera mayor pura Do4 - Mi4 (5/4)

Historia del temperamento igual

La historia del temperamento igual es larga y conviene contarla con cuidado, porque circulan muchas atribuciones erróneas.

• Antecedentes. Aristóxeno de Tarento (siglo IV a. C.) ya pensaba los intervalos como distancias divisibles en partes iguales, pero sin cálculo numérico. Los laudistas y vihuelistas del siglo XVI colocaban trastes que, en la práctica, daban semitonos casi iguales.
• Francisco de Salinas (1513-1590), catedrático en Salamanca, describió en De musica libri septem (Salamanca, 1577) varios temperamentos mesotónicos para teclado (de 1/3, 2/7 y 1/4 de coma) y señaló que en la viola (la vihuela) de trastes se usaba una división de la octava en doce semitonos iguales.
• Vincenzo Galilei, en su Dialogo della musica antica et della moderna (1581), propuso colocar los trastes del laúd con la razón 18/17, una aproximación práctica al semitono igual (98,95 cents).
• Zhu Zaiyu (1536-1611), príncipe de la dinastía Ming, publicó en 1584 el primer cálculo exacto conocido de la raíz duodécima de 2, con una precisión de más de veinte cifras.
• Simon Stevin (1548-1620), matemático flamenco, lo describió y calculó hacia 1605 en Vande Spiegheling der Singconst, un tratado que quedó inédito hasta el siglo XIX.
• Marin Mersenne lo explicó con detalle en su Harmonie universelle (1636-1637) y lo difundió entre los teóricos europeos.

De la teoría a los teclados

Entre la teoría y la práctica pasaron casi tres siglos. En los siglos XVI y XVII los teclados se afinaban en temperamento mesotónico, con terceras puras en las tonalidades más usadas. A finales del XVII y en el XVIII se extendieron los temperamentos desiguales «circulantes» (Werckmeister, 1691; Kirnberger; Vallotti), que permiten tocar en todas las tonalidades conservando un «color» propio en cada una.

El temperamento igual se generalizó en los pianos a lo largo del siglo XIX. Por eso es habitual decir que es el sistema dominante desde hace unos 150-200 años, aunque se conocía en teoría desde finales del siglo XVI.

Instrumentos que usan el temperamento igual (y los que no)

Obligados a usarlo (afinación fija):

• Piano y órgano moderno. El piano, además, se afina con octavas ligeramente «estiradas» por la inarmonicidad de sus cuerdas (ver acústica del piano).
• Guitarra, bajo eléctrico y demás instrumentos de trastes.
• Acordeón, celesta, láminas (marimba, vibráfono, xilófono, glockenspiel) y la mayoría de sintetizadores.

Pueden apartarse de él (afinación flexible):

• La voz y los coros, que tienden a terceras puras en los acordes.
• Violín, viola, violonchelo y contrabajo, que no tienen trastes y afinan sus cuerdas al aire por quintas puras.
• Los vientos de madera y metal, que corrigen cada nota con la embocadura, las posiciones o las llaves de corrección.

No lo usan por diseño: los instrumentos históricos en interpretación con criterios históricos (claves y órganos en mesotónico o Werckmeister), los instrumentos naturales de metal, que tocan la serie armónica, y muchas tradiciones no occidentales, como el gamelán o la música de maqam.

Los trastes de la guitarra

La distancia de cada traste a la cejuela se calcula con la misma fórmula. Para una cuerda de longitud vibrante $L$, el traste $n$ está a:

$$d_n = L \left(1 - 2^{-n/12}\right)$$

donde $d_n$ y $L$ se miden en metros (o en milímetros, si se usa la misma unidad para ambas). El primer traste está a $L / 17{,}817$ de la cejuela, y el traste 12 justo a la mitad de la cuerda. Los guitarreros usaban antes la «regla del 18», una aproximación a este número.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Salinas, F. de (1577). De musica libri septem. Salamanca: Mathias Gastius.
• Mersenne, M. (1636-1637). Harmonie universelle. París.
• Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). Nueva York: W. W. Norton.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound. 3.ª ed. San Francisco: Addison-Wesley.