Acústica del piano: cómo funciona, inarmonicidad y afinación estirada

El piano es el instrumento que usamos para dar el La, para enseñar armonía y para comprobar si una nota está afinada. Parece el patrón perfecto del temperamento igual. Y, sin embargo, ningún piano bien afinado está afinado en temperamento igual exacto: sus octavas son un poco más grandes que 2:1. La culpa la tiene el acero de sus cuerdas.

Escucha los ocho primeros parciales de La2 (110 Hz) sonando a la vez: primero como armónicos ideales y después como los de una cuerda rígida con un coeficiente de inarmonicidad $B = 0{,}001$ (un valor alto, típico de la zona aguda o de un piano pequeño).

▶ Parciales armónicos ideales de La2 ▶ Parciales de una cuerda rígida (B = 0,001)

El segundo sonido es algo más áspero y «metálico». Esa ligera desviación es la clave de todo el artículo.

Cómo funciona el piano: una cuerda percutida

Acústicamente, el piano es un instrumento de cuerda percutida. Todo lo que ya sabes sobre las cuerdas vibrantes (las leyes de Mersenne, la serie armónica, los armónicos que faltan según el punto de excitación) sigue valiendo aquí. Lo que cambia es la forma de excitar la cuerda y la escala: 88 teclas, de La0 (27,50 Hz) a Do8 (4186,01 Hz), algo más de siete octavas.

La cadena completa tiene cuatro eslabones:

1. El mecanismo convierte la pulsación de la tecla en el golpe de un martillo.
2. Las cuerdas vibran con una frecuencia fijada por su longitud, tensión y masa.
3. El puente transmite la vibración a la tabla armónica.
4. La tabla armónica radia el sonido al aire.

El mecanismo: martillo, escape y apagadores

Cuando pulsas una tecla, una serie de palancas lanza un martillo (macillo) forrado de fieltro contra la cuerda. El detalle decisivo es el escape: una pieza articulada, el lanzador, empuja el martillo y se retira justo antes de que llegue a la cuerda. El martillo recorre los últimos milímetros en vuelo libre, golpea y rebota. Si siguiera empujado contra la cuerda, la apagaría al instante.

Al mismo tiempo, la tecla levanta el apagador, un bloque de fieltro que descansa sobre la cuerda. Mientras mantienes la tecla, la cuerda vibra libre; al soltarla, el apagador cae y la silencia. En el registro más agudo (aproximadamente la última octava y media) no hay apagadores: esas cuerdas se apagan solas muy deprisa.

Consecuencia importante: una vez que el martillo ha escapado, el pianista ya no controla nada salvo el momento de apagar. La única variable es la velocidad del martillo en el instante del golpe. De ella dependen a la vez la intensidad y el timbre.

El golpe del martillo: timbre y dinámica

En el artículo sobre las cuerdas viste que una cuerda percutida idealmente tiene armónicos que decaen como $1/n$ y que faltan los que tienen un nodo en el punto de golpeo. En el piano el martillo golpea hacia 1/7 o 1/9 de la longitud de la cuerda, lo que debilita los armónicos cercanos al 7.º-9.º, que son de los más disonantes respecto al temperamento igual.

El fieltro, además, no es un sólido rígido: se comprime de forma no lineal. Cuanto más rápido llega el martillo, más duro se comporta y menos tiempo dura el contacto con la cuerda (del orden de unos pocos milisegundos en el centro del teclado). Un contacto más breve excita más parciales agudos. Por eso un fortissimo no es un piano más fuerte, sino un sonido más brillante. El técnico que «entona» un piano pincha o endurece el fieltro de los martillos para igualar ese brillo nota a nota.

Las cuerdas del piano: una, dos o tres por nota

Un piano de cola tiene unas 220-240 cuerdas para sus 88 notas. No todas las notas llevan el mismo número:

Zona del teclado	Cuerdas por nota	Tipo de cuerda
Graves extremos (unas 8-10 notas)	1	Acero entorchado con cobre
Graves (unas 15-20 notas)	2	Acero entorchado con cobre
Centro y agudos	3	Acero liso

El reparto exacto cambia según el modelo y el fabricante.

Las notas con dos o tres cuerdas (coros o unísonos) suenan más fuerte y, como verás, decaen de una forma peculiar. En los graves no hay sitio ni necesidad de tres cuerdas tan gruesas: se usa una sola, muy pesada.

Longitudes, tensiones y entorchados

Si todas las cuerdas fueran del mismo acero y la misma tensión, la ley de las longitudes obligaría a duplicar la longitud por cada octava hacia el grave. Partiendo de unos 5 cm para Do8, el La0 necesitaría más de 7,5 m. Ningún piano cabe en una sala así.

Los constructores juegan con las tres leyes de Mersenne a la vez:

• En el agudo, la longitud crece algo menos que el doble por octava.
• Las tensiones se mantienen en un margen parecido, unos 700-900 N por cuerda, para que la tabla reciba un empuje homogéneo.
• En el grave se entorchan las cuerdas con hilo de cobre: se añade mucha masa sin aumentar demasiado la rigidez. Así el La0 de un piano de cola de concierto cabe en unos 2 m.

Ejemplo: la cuerda de Do4. En un piano de cola, el Do central tiene una longitud vibrante de unos 0,62 m y una cuerda de acero de unos 1,05 mm de diámetro. Con una densidad de 7850 kg/m³:

$$\mu = \rho \cdot \frac{\pi d^2}{4} = 7850 \cdot \frac{\pi \cdot (1{,}05 \cdot 10^{-3})^2}{4} \approx 6{,}8 \cdot 10^{-3}\ \text{kg/m}$$ $$T = \mu \cdot (2 L f_1)^2 = 6{,}8 \cdot 10^{-3} \cdot (2 \cdot 0{,}62 \cdot 261{,}63)^2 \approx 715\ \text{N}$$

Unos 73 kg de fuerza en una sola cuerda. Multiplica por 230 cuerdas y obtendrás una tensión total de unas 18-20 toneladas de fuerza. Por eso el piano moderno necesita un bastidor de hierro fundido (el arpa o placa): un marco de madera acabaría deformándose.

La tabla armónica y el puente

Como en todos los cordófonos, la cuerda sola apenas mueve aire. El trabajo de radiar lo hace la tabla armónica: una lámina de abeto de unos 8-10 mm de grosor y más de 2 m² de superficie en un piano de cola grande. Por debajo lleva unas barras de refuerzo perpendiculares a la veta, y está ligeramente abombada hacia arriba (la corona).

Las cuerdas pasan por el puente, una regleta de madera pegada a la tabla, y lo presionan hacia abajo con un pequeño ángulo (la presión de puente). Esa presión sostiene la corona y asegura el contacto. La vibración de la cuerda empuja el puente arriba y abajo, y el puente mueve toda la tabla.

La tabla tiene sus propios modos de vibración (como una placa), muy numerosos y amortiguados, que refuerzan unas frecuencias más que otras. Su diseño es un compromiso: una tabla muy ligera y flexible radia mucho, pero agota enseguida la energía de la cuerda y las notas duran poco; una muy rígida sostiene más pero suena apagada.

Inarmonicidad: la cuerda rígida

Las fórmulas de Mersenne suponen una cuerda perfectamente flexible, cuya única fuerza recuperadora es la tensión. Un alambre de acero de 1 mm no lo es: también se resiste a doblarse, como una varilla. Esa rigidez afecta más a los modos altos, que tienen la cuerda doblada en muchos tramos cortos. Resultado: los parciales se desplazan hacia el agudo, y cada vez más.

Harvey Fletcher lo formuló en 1964 con esta expresión:

$$f_n = n \cdot f_1 \cdot \sqrt{1 + B\,n^2}$$

donde $f_n$ es la frecuencia del parcial $n$ (Hz), $f_1$ la fundamental que tendría la cuerda sin rigidez (Hz) y $B$ el coeficiente de inarmonicidad, un número adimensional. Para una cuerda maciza de acero:

$$B = \frac{\pi^3 E\, d^4}{64\, T L^2}$$

con $E$ el módulo de Young (unos $2 \cdot 10^{11}$ Pa para el acero), $d$ el diámetro (m), $T$ la tensión (N) y $L$ la longitud (m).

Fíjate en las dependencias: $B$ crece con la cuarta potencia del diámetro y baja con el cuadrado de la longitud. Las cuerdas cortas y gruesas son las más inarmónicas. Para la cuerda de Do4 del ejemplo:

$$B = \frac{\pi^3 \cdot 2 \cdot 10^{11} \cdot (1{,}05 \cdot 10^{-3})^4}{64 \cdot 715 \cdot 0{,}62^2} \approx 4{,}3 \cdot 10^{-4}$$

Parece poca cosa, pero el efecto crece con $n^2$:

Parcial	Ideal (Do4)	Con B = 4,3·10⁻⁴	Desviación
1	261,63 Hz	261,68 Hz	+0,4 cents
2	523,25 Hz	523,70 Hz	+1,5 cents
4	1046,50 Hz	1050,10 Hz	+5,9 cents
6	1569,75 Hz	1581,86 Hz	+13,3 cents
8	2093,00 Hz	2121,61 Hz	+23,5 cents
10	2616,26 Hz	2671,91 Hz	+36,4 cents

El valor de $B$ cambia a lo largo del teclado: es del orden de $10^{-4}$ en el grave y el centro, y sube mucho en la zona aguda, donde las cuerdas son muy cortas. También depende del tamaño del piano: un piano vertical pequeño, con cuerdas más cortas, es más inarmónico que un piano de cola de concierto. Es una de las razones por las que un gran piano de cola suena más «limpio» en los graves.

Octavas estiradas y la curva de Railsback

El afinador no mide frecuencias: escucha batidos. Para afinar una octava, busca que el 2.º parcial de la nota grave coincida con la fundamental de la aguda (y, en la práctica, también el 4.º con el 2.º, o el 6.º con el 3.º). Si repasas los batimientos, entenderás por qué: dos componentes próximos baten, y el afinador los elimina.

Pero el 2.º parcial de Do4 no está a 523,25 Hz, sino un poco más arriba. Si el Do5 se afina para no batir con él, la octava queda ligeramente mayor que 2:1. Con el $B$ de nuestro ejemplo:

$$\Delta = 1200 \cdot \log_2 \frac{\sqrt{1 + 4B}}{\sqrt{1 + B}} \approx 1{,}1\ \text{cents}$$

si se iguala el 2.º parcial con la fundamental, o unos 4,4 cents si se iguala el 4.º con el 2.º. Son estiramientos pequeños, pero se acumulan octava tras octava, y en los extremos del teclado $B$ es mayor. El resultado es que el piano afinado se aparta del temperamento igual teórico: los graves quedan por debajo y los agudos, por encima.

Esa desviación la midió O. L. Railsback y la publicó en 1938 en el Journal of the Acoustical Society of America. Su gráfica, con forma de S tumbada, se conoce desde entonces como curva de Railsback:

Zona	Desviación típica respecto al temperamento igual
Octava central	Casi nula (es donde se fija el La 440)
Octava más grave (La0-La1)	Unos 20-40 cents por debajo
Octava más aguda (Do7-Do8)	Unos 20-40 cents por encima

Valores orientativos: cada piano, según su inarmonicidad, tiene su propia curva, y cada afinador la ajusta a su oído.

Un piano afinado con octavas exactas de 2:1 no suena «más puro», sino peor: los agudos parecen bajos y los unísonos de octava baten. El temperamento igual del piano no es el de la fórmula $2^{1/12}$ de los libros, sino el de la afinación temperada adaptada a sus cuerdas reales. Si quieres medir esas diferencias, trabaja siempre en cents.

El doble decaimiento

Si registras una nota del centro del teclado y miras su nivel en decibelios, verás que no decae en línea recta. Primero cae deprisa (el sonido inmediato) y luego mucho más despacio (el sonido residual). Es el doble decaimiento, y es parte esencial del carácter del piano.

Gabriel Weinreich lo explicó en 1977 con dos mecanismos:

1. Cuerdas acopladas. Las dos o tres cuerdas de un coro nunca están afinadas exactamente igual y comparten el mismo puente. Al principio vibran en fase y empujan juntas el puente: ceden energía muy deprisa. Con el tiempo se desfasan y parte de su movimiento se compensa en el puente, que recibe menos energía; esa parte de la vibración dura mucho más. El afinador controla este efecto al ajustar los unísonos: unas décimas de cent cambian la duración del sonido.
2. Dos planos de vibración. El martillo golpea en vertical, y la cuerda vibra al principio perpendicular a la tabla, el plano que mejor transmite energía. Poco a poco aparece una vibración paralela a la tabla, que se transmite peor y dura más.

El pedal derecho y la resonancia simpática

El piano moderno tiene normalmente tres pedales:

• Pedal derecho (de resonancia): levanta todos los apagadores a la vez.
• Pedal izquierdo: en el piano de cola desplaza todo el mecanismo para que el martillo golpee solo dos de las tres cuerdas (una corda) con una zona menos gastada del fieltro; en el vertical acerca los martillos a las cuerdas.
• Pedal central: en el de cola, el sostenuto mantiene levantados solo los apagadores de las notas que estaban pulsadas al pisarlo; en muchos verticales, es un pedal de estudio que interpone un fieltro.

El pedal derecho no solo alarga las notas. Al liberar todas las cuerdas, cualquier cuerda cuyos parciales coincidan con los de las notas tocadas empieza a vibrar por simpatía. Si tocas un Do2, sus armónicos (Do3, Sol3, Do4, Mi4…) excitan las cuerdas de esas notas, que a su vez prolongan y enriquecen el sonido. Es un halo que no existe con los apagadores bajados.

Puedes comprobarlo tú mismo: baja en silencio la tecla de Do4 para liberar su cuerda y toca con fuerza un Do3 corto. Al soltar el Do3 seguirás oyendo el Do4: su cuerda ha entrado en resonancia con el 2.º armónico del Do3.

Piano de cola frente a piano vertical

	Piano de cola	Piano vertical
Cuerdas y tabla	Horizontales	Verticales
Tamaño	De unos 1,5 m a unos 2,75 m de largo (cola de concierto)	De unos 1,1 m a unos 1,35 m de alto
Retorno del martillo	Por gravedad	Por muelles
Repetición	Rápida (doble escape)	Más lenta
Cuerdas graves	Más largas: menor inarmonicidad	Más cortas: mayor inarmonicidad
Radiación	La tabla radia hacia arriba y abajo; la tapa abierta refleja hacia el público	La tabla radia hacia la pared y hacia el intérprete

Las diferencias acústicas más importantes se concentran en el grave. Con cuerdas más largas, el piano de cola puede usar cuerdas menos gruesas para la misma nota: su $B$ es menor y sus graves suenan más definidos. En el vertical, sobre todo en los modelos pequeños, los graves son más inarmónicos y la curva de estiramiento tiene que ser más pronunciada.

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Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Askenfelt, A. (ed.) (1990). Five Lectures on the Acoustics of the Piano. Estocolmo: Royal Swedish Academy of Music.
• Fletcher, H. (1964). «Normal vibration frequencies of a stiff piano string». Journal of the Acoustical Society of America, 36(1), 203-209.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Railsback, O. L. (1938). «Scale temperament as applied to piano tuning». Journal of the Acoustical Society of America, 9(3), 274.
• Weinreich, G. (1977). «Coupled piano strings». Journal of the Acoustical Society of America, 62(6), 1474-1484.
• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.