Tiempo de reverberación: fórmula de Sabine, Eyring y valores óptimos

Un acorde final de órgano en una catedral queda flotando varios segundos después de que el organista levante las manos. El mismo acorde en un salón de casa desaparece en un instante. Esa «cola» es la reverberación, y el número que la mide es el tiempo de reverberación, el parámetro más importante de la acústica de salas. Decide si una sala es buena para Bach al órgano, para un cuarteto de Haydn o para dar clase de lenguaje musical.

Escucha un mismo acorde de Do mayor, primero corto y seco, y después sostenido como si la sala lo prolongara:

▶ Acorde seco (sala muy absorbente) ▶ Acorde que se prolonga (sala reverberante)

El segundo no es una sala de verdad (un botón no puede simularla), pero te da una idea de lo que añade la reverberación: continuidad, empaste y sensación de espacio. En exceso, en cambio, emborrona los pasajes rápidos y hace ininteligible la palabra.

Qué es el tiempo de reverberación

Cuando apagas una fuente dentro de una sala, el sonido no desaparece de golpe: las reflexiones siguen rebotando en paredes, suelo y techo, y en cada choque pierden parte de su energía por absorción. El nivel cae de forma aproximadamente lineal en decibelios.

El tiempo de reverberación es el tiempo que tarda el nivel de presión sonora en bajar 60 dB desde que se interrumpe la fuente. Se escribe RT60, T60 o simplemente T, y se mide en segundos.

¿Por qué 60 dB? Es una caída a una millonésima parte de la intensidad inicial ($10^{-6}$), y una orquesta en forte (unos 100 dB) queda así en unos 40 dB, cerca del ruido de fondo de una sala. Recuerda cómo funcionan los decibelios.

El tiempo de reverberación depende de la frecuencia, porque la absorción también depende de ella. Por eso se da por bandas de octava (de 125 a 4000 Hz) y, cuando se da un solo número, suele ser la media de 500 y 1000 Hz, llamada tiempo de reverberación medio o en frecuencias medias.

La fórmula de Sabine

Wallace Clement Sabine, joven profesor de física en Harvard, recibió en 1895 el encargo de corregir la pésima acústica de una sala de conferencias del Fogg Art Museum. Tras años de medidas con tubos de órgano, un cronómetro y su oído, llegó a una relación sencilla:

$$T = 0{,}161 \cdot \frac{V}{A}$$

• $T$: tiempo de reverberación (s).
• $V$: volumen de la sala (m³).
• $A$: área de absorción equivalente (m²), la suma de cada superficie por su coeficiente de absorción, más la absorción de personas, butacas y aire.

La constante 0,161 (en s/m) no es arbitraria. Sale de la teoría estadística de la reverberación: vale $24 \ln 10 / c$, que, con $c = 343$ m/s, da 0,161.

La fórmula dice dos cosas muy intuitivas:

• Más volumen, más reverberación. El sonido recorre trayectos más largos entre choque y choque y pierde energía más despacio. Por eso las catedrales reverberan tanto.
• Más absorción, menos reverberación. Duplicar la absorción divide el tiempo entre dos.

El área de absorción, completa

En una sala real, $A$ se calcula así:

$$A = \sum_i S_i \, \alpha_i + \sum_j N_j \, A_j + 4 m V$$

donde $S_i$ y $\alpha_i$ son el área (m²) y el coeficiente de absorción de cada superficie, $N_j$ y $A_j$ el número y la absorción (m²) de personas u objetos, y $4mV$ la absorción del aire, con $m$ el coeficiente de atenuación del aire (1/m). La del aire solo importa en salas grandes y en agudos. A 20 °C y 50 % de humedad, $4m$ vale unos 0,0025 m⁻¹ a 500 Hz, pero unos 0,027 m⁻¹ a 4000 Hz.

La fórmula de Eyring

La fórmula de Sabine funciona muy bien en salas vivas, con poca absorción. Pero falla en salas muy absorbentes. El caso extremo lo deja claro: si todas las superficies tuvieran $\alpha = 1$ (como estar al aire libre), no habría ninguna reflexión y $T$ debería ser 0; Sabine, en cambio, da un valor positivo.

En 1930, Carl F. Eyring propuso una corrección que tiene en cuenta que el sonido pierde una fracción de energía en cada reflexión:

$$T = \frac{0{,}161 \cdot V}{-S \ln(1 - \bar{\alpha}) + 4mV}$$

• $S$: superficie total de la sala (m²).
• $\bar{\alpha}$: coeficiente de absorción medio, $\bar{\alpha} = \frac{\sum S_i \alpha_i}{S}$.
• $\ln$: logaritmo neperiano.

Cuando $\bar{\alpha}$ es pequeño, $-\ln(1-\bar{\alpha}) \approx \bar{\alpha}$ y Eyring coincide con Sabine. Cuando crece, Eyring da tiempos más cortos. Mira cómo divergen en una sala de 100 m³ y 130 m² de superficie:

$\bar{\alpha}$	Sabine	Eyring
0,1	1,24 s	1,18 s
0,3	0,41 s	0,35 s
0,5	0,25 s	0,18 s
0,9	0,14 s	0,05 s
1,0	0,12 s	0 s

Como regla práctica: Sabine para salas vivas (coeficiente medio por debajo de 0,2-0,3), Eyring para salas absorbentes, como estudios y locutorios. Existen otras fórmulas para salas con la absorción mal repartida (por ejemplo, todo el absorbente en el suelo, como ocurre con el público): Millington (1932), Fitzroy (1959) o Arau-Puchades (1988).

Ejemplo resuelto: un aula de música

Vamos a calcular el tiempo de reverberación de un aula de conservatorio de 9 × 7 × 3,2 m con suelo de linóleo, techo y paredes de enlucido de yeso, 12 m² de ventanas, una puerta de madera de 2 m² y 20 alumnos sentados. Los coeficientes son los de la tabla del artículo de absorción acústica.

Paso 1. Geometría.

$$V = 9 \cdot 7 \cdot 3{,}2 = 201{,}6\ \text{m}^3 \qquad S = 2(9 \cdot 7 + 9 \cdot 3{,}2 + 7 \cdot 3{,}2) = 228{,}4\ \text{m}^2$$

Las paredes suman $2(9 + 7) \cdot 3{,}2 = 102{,}4$ m²; quitando ventanas y puerta, quedan 88,4 m² de yeso.

Paso 2. Absorción a 500 Hz.

Superficie	Área (m²)	α a 500 Hz	S·α (m²)
Suelo de linóleo	63	0,03	1,89
Techo de yeso	63	0,02	1,26
Paredes de yeso	88,4	0,02	1,77
Ventanas	12	0,18	2,16
Puerta de madera	2	0,10	0,20
20 alumnos (0,35 m² cada uno)			7,00
Total superficies y personas			14,28
Aire ($0{,}0025 \cdot 201{,}6$)			0,50

Fíjate: los 20 alumnos absorben casi la mitad del total. Las superficies duras apenas cuentan.

Paso 3. Sabine.

$$T_{500} = \frac{0{,}161 \cdot 201{,}6}{14{,}28 + 0{,}50} = \frac{32{,}46}{14{,}78} \approx 2{,}2\ \text{s}$$

Paso 4. Eyring. El coeficiente medio es $\bar{\alpha} = 14{,}28 / 228{,}4 \approx 0{,}0625$:

$$T_{500} = \frac{32{,}46}{-228{,}4 \cdot \ln(1 - 0{,}0625) + 0{,}50} = \frac{32{,}46}{14{,}74 + 0{,}50} \approx 2{,}13\ \text{s}$$

Como el aula es muy poco absorbente, las dos fórmulas casi coinciden. 2,2 segundos es el tiempo de una sala sinfónica, no de un aula: las notas se pisan, el profesor tiene que levantar la voz y un grupo de percusión resulta insoportable.

Paso 5. Todas las bandas y una propuesta de tratamiento. Hacer esto a mano en seis bandas es tedioso, así que usamos un pequeño programa en Python. Proponemos cubrir 30 m² del techo con placas acústicas y colocar 8 m² de paneles de lana mineral de 50 mm en la pared del fondo:

import math

bandas = [125, 250, 500, 1000, 2000, 4000]
alfa = {
    "yeso":     [0.01, 0.02, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05],
    "linoleo":  [0.02, 0.03, 0.03, 0.03, 0.03, 0.02],
    "vidrio":   [0.35, 0.25, 0.18, 0.12, 0.07, 0.04],
    "madera":   [0.15, 0.11, 0.10, 0.07, 0.06, 0.07],
    "techo_ac": [0.45, 0.55, 0.60, 0.75, 0.80, 0.75],
    "lana_50":  [0.20, 0.65, 0.95, 1.00, 0.95, 0.90],
}
alumno = [0.15, 0.25, 0.35, 0.40, 0.45, 0.45]              # m² por persona
aire_4m = [0.0004, 0.0012, 0.0025, 0.0043, 0.0091, 0.0273]  # 1/m, 20 °C y 50 % HR

L, W, H = 9.0, 7.0, 3.2
V = L * W * H                        # 201,6 m³
S = 2 * (L * W + L * H + W * H)      # 228,4 m²
paredes = 2 * (L + W) * H            # 102,4 m²

def rt60(superficies, personas):
    for i, f in enumerate(bandas):
        A = sum(s * alfa[m][i] for m, s in superficies) + personas * alumno[i]
        A_aire = aire_4m[i] * V
        sabine = 0.161 * V / (A + A_aire)
        eyring = 0.161 * V / (-S * math.log(1 - A / S) + A_aire)
        print(f"{f:>5} Hz  A = {A:5.1f} m²  Sabine {sabine:4.2f} s  Eyring {eyring:4.2f} s")

antes = [("linoleo", 63), ("yeso", 63), ("vidrio", 12), ("madera", 2),
         ("yeso", paredes - 14)]
despues = [("linoleo", 63), ("techo_ac", 30), ("yeso", 33), ("vidrio", 12),
           ("madera", 2), ("yeso", paredes - 14 - 8), ("lana_50", 8)]

print("ANTES, con 20 alumnos");   rt60(antes, 20)
print("DESPUÉS, con 20 alumnos"); rt60(despues, 20)
print("DESPUÉS, vacía");          rt60(despues, 0)

Resultados (Sabine):

Banda	Antes, ocupada	Después, ocupada	Después, vacía
125 Hz	3,13 s	1,29 s	1,47 s
250 Hz	2,43 s	0,95 s	1,11 s
500 Hz	2,20 s	0,82 s	0,99 s
1000 Hz	1,92 s	0,70 s	0,85 s
2000 Hz	1,64 s	0,65 s	0,80 s
4000 Hz	1,36 s	0,63 s	0,76 s

Con solo 38 m² de tratamiento, el tiempo medio (500-1000 Hz) con alumnos baja de 2,06 s a 0,76 s, dentro de lo recomendable para un aula. Pero fíjate en la fila de 125 Hz: los graves siguen reverberando casi el doble que los agudos. Las placas y los paneles finos apenas absorben ahí. Para equilibrar el aula faltarían trampas de graves en las esquinas o resonadores de membrana, como se explica en absorción acústica y en modos propios de una sala.

Tiempo de reverberación óptimo

No existe un tiempo «bueno» en abstracto: depende de para qué se usa la sala y de su volumen. La palabra necesita claridad (reverberación corta); la música romántica y el órgano, empaste y envolvimiento (reverberación larga). Estos son valores orientativos con la sala ocupada y en frecuencias medias:

Uso	RT60 recomendado
Estudio de grabación (sala de control)	0,2-0,4 s
Aula o sala de conferencias	0,6-0,9 s
Música de cámara	1,3-1,7 s
Ópera	1,2-1,6 s
Música sinfónica	1,8-2,2 s
Órgano y música coral en iglesia	2,5 s o más

Dentro de cada uso, cuanto mayor es la sala, más alto suele ser el valor recomendado. Y en salas de música se busca que los graves reverberen algo más que los medios, lo que da calidez (la razón de graves que se explica en el hub de acústica de salas).

La reverberación en salas célebres

Estos son valores publicados por Leo Beranek en su estudio comparativo de salas de concierto, con la sala ocupada y en frecuencias medias. Las cifras varían ligeramente según la fuente y la fecha de la medida:

Sala	Inauguración	Volumen	Aforo	RT60 ocupada
Musikverein (Viena), Gran Sala	1870	unos 15 000 m³	unas 1680	unos 2,0 s
Concertgebouw (Ámsterdam)	1888	unos 18 800 m³	unas 2040	unos 2,0 s
Symphony Hall (Boston)	1900	unos 18 750 m³	unas 2630	unos 1,9 s
Carnegie Hall (Nueva York)	1891	unos 24 300 m³	unas 2800	unos 1,8 s
Philharmonie (Berlín)	1963	unos 21 000 m³	unas 2220	unos 1,9 s

Con la fórmula de Sabine, puedes estimar cuánta absorción tiene el Musikverein lleno: $A = 0{,}161 \cdot 15\,000 / 2{,}0 \approx 1200$ m². Casi toda esa absorción la aportan el público y las butacas.

Las tres primeras son salas de planta rectangular estrecha, la llamada «caja de zapatos». La Philharmonie de Berlín, de Hans Scharoun, inauguró en cambio el modelo de «viñedo», con el público en terrazas alrededor de la orquesta.

Cómo se mide el tiempo de reverberación

Casi nunca se miden directamente 60 dB de caída: el ruido de fondo de la sala lo impide. El procedimiento, normalizado en la ISO 3382 (parte 1 para salas de espectáculos y parte 2 para recintos ordinarios), es este:

1. Excitar la sala. Con un sonido impulsivo (una pistola de fogueo, un globo que revienta, un par de tablas que se golpean) o, mejor, con un altavoz omnidireccional que emite ruido o un barrido de frecuencias (sweep). Del barrido se obtiene por cálculo la respuesta al impulso de la sala: su «huella dactilar» acústica entre una fuente y un receptor.
2. Calcular la curva de caída. Manfred Schroeder propuso en 1965 obtenerla integrando la respuesta al impulso desde el final hacia el principio, lo que da una curva mucho más suave que la caída directa.
3. Ajustar una recta y extrapolar. Se mide la pendiente en un tramo de la curva y se extrapola a 60 dB:
   • T20: pendiente entre −5 y −25 dB (20 dB de caída), multiplicada por 3.
   • T30: pendiente entre −5 y −35 dB (30 dB de caída), multiplicada por 2.
   • EDT (Early Decay Time): los primeros 10 dB, multiplicados por 6. Está más relacionado con la reverberación que percibimos mientras suena la música.
4. Promediar varias posiciones de fuente y de micrófono, por bandas de octava.

Hoy basta un micrófono de medida, un altavoz y un programa gratuito para medir con bastante fiabilidad el RT60 de un aula o de un local de ensayo.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Sabine, W. C. (1922). Collected Papers on Acoustics. Cambridge (Mass.): Harvard University Press.
• Eyring, C. F. (1930). «Reverberation time in “dead” rooms». The Journal of the Acoustical Society of America, 1(2), 217-241.
• Schroeder, M. R. (1965). «New method of measuring reverberation time». The Journal of the Acoustical Society of America, 37(3), 409-412.
• Beranek, L. L. (2004). Concert Halls and Opera Houses: Music, Acoustics, and Architecture (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Kuttruff, H. (2009). Room Acoustics (5.ª ed.). Londres: Spon Press.
• Carrión Isbert, A. (1998). Diseño acústico de espacios arquitectónicos. Barcelona: Edicions UPC.
• ISO 3382-1:2009. Acoustics. Measurement of room acoustic parameters. Part 1: Performance spaces.
• Ministerio de Vivienda (2009). Código Técnico de la Edificación. Documento Básico HR: Protección frente al ruido.