Modos propios de una sala: por qué retumban los graves

Si has tocado el contrabajo, el bajo eléctrico o el piano en una habitación pequeña, lo habrás notado: hay una nota grave que retumba como si alguien la amplificara, y otra, un par de semitonos más arriba, que casi desaparece. Si te mueves un metro, el efecto cambia. No es el instrumento. Es la habitación, que tiene sus propias frecuencias de resonancia: sus modos propios.

Escucha una línea cromática de bajo que va de La0 a Fa1. En una habitación con problemas, alguna de estas notas sonaría mucho más fuerte que sus vecinas:

▶ Escala cromática de La0 a Fa1

En una habitación de 5 m de largo, el Do♯1 (34,65 Hz) coincide casi con el primer modo de esa dimensión, y el Fa1 (43,65 Hz) con el primer modo de una pared de 4 m. Lo vas a calcular en este artículo.

Qué son los modos propios

Ya viste en reflexión, refracción y difracción que, entre dos paredes paralelas, el sonido que va y el que vuelve se superponen y forman ondas estacionarias. Es lo mismo que ocurre en una cuerda o en un tubo sonoro, pero en tres dimensiones: la sala es un gran instrumento de aire con sus propias notas.

En cada modo hay puntos de presión máxima (vientres) y puntos de presión nula (nodos). En un recinto rectangular, todas las paredes son vientres de presión: por eso los graves siempre se refuerzan pegados a la pared y, sobre todo, en las esquinas.

La fórmula de Rayleigh

Para una sala en forma de caja (paralelepípedo) de dimensiones $L_x$, $L_y$ y $L_z$, con paredes rígidas, las frecuencias de los modos propios vienen dadas por la fórmula que Lord Rayleigh recogió en su Theory of Sound (1877-1878):

$$f = \frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{n_x}{L_x}\right)^2 + \left(\frac{n_y}{L_y}\right)^2 + \left(\frac{n_z}{L_z}\right)^2}$$

• $f$: frecuencia del modo (Hz).
• $c$: velocidad del sonido (343 m/s a 20 °C).
• $L_x$, $L_y$, $L_z$: largo, ancho y alto de la sala (m).
• $n_x$, $n_y$, $n_z$: números enteros (0, 1, 2, 3…) que indican cuántas medias longitudes de onda caben en cada dirección. No pueden ser los tres cero a la vez.

Cada combinación $(n_x, n_y, n_z)$ es un modo. Según cuántos índices sean distintos de cero, hay tres tipos:

Tipo	Índices no nulos	Cómo viaja el sonido	Ejemplo	Energía relativa
Axial	uno	entre dos superficies paralelas	(1, 0, 0)	la mayor
Tangencial	dos	entre cuatro superficies, paralelo a las otras dos	(1, 1, 0)	intermedia
Oblicuo	tres	rebotando en las seis superficies	(1, 1, 1)	la menor

Los axiales son los más fuertes y los más problemáticos, porque rebotan en menos superficies y pierden menos energía. Se suele decir que los tangenciales tienen unos 3 dB menos y los oblicuos, unos 6 dB menos que los axiales.

Para un modo axial, la fórmula se reduce a la de una onda estacionaria entre dos paredes:

$$f_n = \frac{n \cdot c}{2L}$$

Ejemplo: una habitación de 5 × 4 × 2,7 m

Es un tamaño típico de salón o de cuarto grande convertido en estudio casero. Su volumen es $V = 54$ m³ y su superficie, 88,6 m². Calculamos todos los modos hasta 200 Hz con un pequeño programa en Python:

import math

c = 343.0
Lx, Ly, Lz = 5.0, 4.0, 2.7
tipos = {1: "axial", 2: "tangencial", 3: "oblicuo"}

modos = []
for nx in range(8):
    for ny in range(8):
        for nz in range(6):
            if nx == ny == nz == 0:
                continue
            f = c / 2 * math.sqrt((nx / Lx)**2 + (ny / Ly)**2 + (nz / Lz)**2)
            if f <= 200:
                k = sum(1 for n in (nx, ny, nz) if n > 0)
                modos.append((f, (nx, ny, nz), tipos[k]))

for f, n, t in sorted(modos):
    print(f"{f:6.1f} Hz  {n}  {t}")

El programa encuentra 71 modos por debajo de 200 Hz. Estos son los primeros:

Frecuencia	Modo $(n_x, n_y, n_z)$	Tipo	Nota más cercana
34,3 Hz	(1, 0, 0)	axial (largo)	Do♯1
42,9 Hz	(0, 1, 0)	axial (ancho)	Fa1
54,9 Hz	(1, 1, 0)	tangencial	La1
63,5 Hz	(0, 0, 1)	axial (alto)	entre Si1 y Do2
68,6 Hz	(2, 0, 0)	axial (largo)	Do♯2
72,2 Hz	(1, 0, 1)	tangencial	Re2
76,6 Hz	(0, 1, 1)	tangencial	Re♯2
80,9 Hz	(2, 1, 0)	tangencial	Mi2
84,0 Hz	(1, 1, 1)	oblicuo	Mi2
85,8 Hz	(0, 2, 0)	axial (ancho)	Fa2
92,4 Hz	(1, 2, 0)	tangencial	Fa♯2
93,5 Hz	(2, 0, 1)	tangencial	Fa♯2
102,9 Hz	(3, 0, 0) y (2, 1, 1)	axial y oblicuo	Sol♯2

Y los modos axiales de cada dimensión, que son los que más pesan:

Dimensión	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
Largo (5 m)	34,3 Hz	68,6 Hz	102,9 Hz	137,2 Hz	171,5 Hz
Ancho (4 m)	42,9 Hz	85,8 Hz	128,6 Hz	171,5 Hz	214,4 Hz
Alto (2,7 m)	63,5 Hz	127,0 Hz	190,6 Hz	254,1 Hz	317,6 Hz

Fíjate en tres cosas:

1. Por debajo de 60 Hz solo hay tres modos, separados entre sí por 9-12 Hz. Las notas que caen en medio (por ejemplo, un Mi1 de 41,2 Hz o un Sol1 de 49 Hz) no tienen ningún modo que las refuerce y pueden sonar débiles.
2. Coincidencias. A 171,5 Hz coinciden dos modos axiales (el 5.º del largo y el 4.º del ancho), porque 5 y 4 m guardan una relación sencilla, 5:4. Y a 127,0 y 128,6 Hz casi coinciden el 2.º del alto y el 3.º del ancho. Cuando varios modos se amontonan, esa zona retumba especialmente.
3. Densidad creciente. Hay 2 modos por debajo de 50 Hz, 12 por debajo de 100 Hz, 35 por debajo de 150 Hz y 71 hasta 200 Hz. Cuanto más subes, más juntos están.

La frecuencia de Schroeder

Si los modos son cada vez más densos, llega un punto en el que se solapan tanto que ya no se distinguen: el campo sonoro se vuelve difuso y la sala responde de forma uniforme. Esa frontera es la frecuencia de Schroeder, propuesta por Manfred Schroeder en los años cincuenta:

$$f_S \approx 2000 \sqrt{\frac{T}{V}}$$

• $f_S$: frecuencia de Schroeder (Hz).
• $T$: tiempo de reverberación de la sala (s).
• $V$: volumen (m³).

Para nuestra habitación de 54 m³ con un tiempo de reverberación de 0,4 s:

$$f_S \approx 2000 \sqrt{\frac{0{,}4}{54}} \approx 172\ \text{Hz}$$

Esto divide el espectro en dos mundos:

• Por debajo de $f_S$ (aquí, el registro grave hasta el Fa3 aproximadamente) manda el comportamiento modal: la respuesta es irregular y depende mucho de la posición. Se analiza con modos.
• Por encima de $f_S$ manda el comportamiento estadístico: valen las fórmulas de reverberación y la absorción de toda la vida.

En una sala de conciertos de 20 000 m³ y 2 s, $f_S \approx 20$ Hz: los modos quedan por debajo de lo audible. Por eso los modos son un problema de salas pequeñas: estudios caseros, locales de ensayo, cabinas de estudio y aulas.

Las proporciones de la sala

Como la posición de los modos depende de las dimensiones, desde mediados del siglo XX se buscan proporciones que repartan los modos de la forma más uniforme posible y eviten las coincidencias. Algunas propuestas clásicas, expresadas como alto : ancho : largo:

Autor	Año	Proporción
Sepmeyer (A)	1965	1 : 1,14 : 1,39
Sepmeyer (B)	1965	1 : 1,28 : 1,54
Sepmeyer (C)	1965	1 : 1,60 : 2,33
Louden	1971	1 : 1,4 : 1,9

Richard Bolt publicó en 1946 un gráfico con una zona de proporciones favorables (el llamado «área de Bolt»), y Oscar Bonello propuso en 1981 un criterio práctico: contar los modos en cada banda de tercio de octava y comprobar que su número no disminuye al subir de banda.

Nuestra habitación tiene una proporción de $2{,}7 : 4 : 5$, es decir, 1 : 1,48 : 1,85, bastante cercana a la de Louden. Si cuentas sus modos por tercios de octava (de 31,5 a 200 Hz salen 1, 1, 1, 2, 5, 8, 13, 23 y 47 modos), el número nunca baja: cumple el criterio de Bonello.

Cómo controlar los modos en un home studio

Casi nunca puedes elegir las dimensiones de tu habitación. Lo que sí puedes hacer, por orden de eficacia y de coste:

1. Colocación de altavoces y oyente

• No te sientes en el centro exacto de la sala. En el centro caen los nodos de todos los modos impares (el 1.º, el 3.º…) de cada dimensión: ahí desaparecen los graves de esas frecuencias. Una regla práctica muy extendida es colocar la posición de escucha hacia el 38 % de la longitud de la sala, contado desde la pared frontal.
• No pegues la cabeza a la pared trasera. Ahí todos los modos tienen un vientre y los graves se exageran.
• Prueba y mide. Mueve los altavoces y la silla unos centímetros y escucha un barrido grave o mide con un micrófono de medida. La diferencia puede ser de más de 10 dB en una nota.

2. Trampas de graves

La segunda herramienta son las trampas de graves, colocadas en las esquinas, donde todos los modos tienen máxima presión: bloques gruesos de lana mineral, paneles porosos separados de la pared o resonadores de membrana y de Helmholtz sintonizados en el modo más molesto. Lo explicamos en absorción acústica. Su efecto no es solo bajar el pico, sino también acortar la resonancia: el grave deja de «colgar» después de que el bajo haya cambiado de nota.

3. Ecualización, con cuidado

Un ecualizador puede rebajar un pico modal en la posición de escucha. Pero no puede rellenar un nulo: si en tu posición la onda que va y la que vuelve se cancelan, meter más energía a esa frecuencia solo la cancela más fuerte (y fuerza el altavoz). La ecualización es el último paso, no el primero.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Rayleigh, J. W. S. (1877-1878). The Theory of Sound (2 vols.). Londres: Macmillan.
• Everest, F. A. y Pohlmann, K. C. (2015). Master Handbook of Acoustics (6.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Kuttruff, H. (2009). Room Acoustics (5.ª ed.). Londres: Spon Press.
• Toole, F. E. (2018). Sound Reproduction: The Acoustics and Psychoacoustics of Loudspeakers and Rooms (3.ª ed.). Nueva York: Routledge.
• Bolt, R. H. (1946). «Note on normal frequency statistics for rectangular rooms». The Journal of the Acoustical Society of America, 18(1), 130-133.
• Louden, M. M. (1971). «Dimension-ratios of rectangular rooms with good distribution of eigentones». Acustica, 24, 101-104.
• Bonello, O. J. (1981). «A new criterion for the distribution of normal room modes». Journal of the Audio Engineering Society, 29(9), 597-606.