La afinación pitagórica y la coma pitagórica

La afinación pitagórica es el sistema de afinación documentado más antiguo de Occidente y la base teórica de toda la música medieval. Su idea es sencilla: si la quinta justa (3/2) es el intervalo más consonante después de la octava, basta con encadenar quintas para obtener todas las notas. El problema aparece al completar el ciclo: la última quinta no encaja, y esa diferencia es la famosa coma pitagórica.

Escucha la escala de Do mayor pitagórica partiendo de Do4 = 261,63 Hz. Fíjate en el Mi y el Si: suenan algo más altos que en un piano.

▶ Escala de Do mayor pitagórica

¿Qué es la afinación pitagórica?

Es un sistema en el que todas las notas se obtienen a partir de una cadena de quintas justas puras, de razón 3/2, que después se reducen a una misma octava. Solo intervienen los números 2 y 3: el 2 para la octava y el 3 para la quinta.

Hay que precisar algo que a menudo se dice mal: la afinación pitagórica no es un temperamento. Un temperamento altera a propósito algunos intervalos puros para repartir una coma (así lo hacen el temperamento mesotónico o el temperamento igual). Aquí no se altera nada: todas las quintas son puras salvo la que cierra el ciclo, que queda con el error acumulado. Por eso se habla de afinación pitagórica.

Origen: Pitágoras, el monocordio y la herrería

La tradición atribuye a Pitágoras de Samos (c. 570 - c. 495 a. C., fechas aproximadas) el descubrimiento de que las consonancias responden a razones de números enteros sencillos. En un monocordio, una cuerda tensa con un puente móvil, se comprueba:

• con la mitad de la cuerda (razón de longitudes 1:2) suena la octava;
• con dos tercios (2:3), la quinta;
• con tres cuartos (3:4), la cuarta.

Como la frecuencia de una cuerda es inversamente proporcional a su longitud (lo verás en las leyes de Mersenne), esas razones de longitud equivalen a razones de frecuencia 2/1, 3/2 y 4/3.

La afinación pitagórica aparece sistematizada en textos griegos como la Sectio canonis atribuida a Euclides y en los Harmónicos de Ptolomeo, y a través de Boecio fue la teoría de referencia en toda la Edad Media.

Cómo se calcula: la cadena de quintas

El procedimiento tiene dos pasos:

1. Multiplicar por 3/2 tantas veces como quintas subamos (o dividir, si bajamos).
2. Reducir a la octava: dividir (o multiplicar) por 2 hasta que la razón quede entre 1 y 2.

En forma general, la nota situada $k$ quintas por encima de la tónica tiene la razón:

$$r_k = \frac{3^k}{2^m}$$

donde $k$ es el número de quintas (negativo si bajamos) y $m$ el número de octavas que hay que restar (o sumar) para que $1 \le r_k \lt 2$. Por ejemplo, el Re está dos quintas por encima de Do:

$$\text{Do} \xrightarrow{\times 3/2} \text{Sol} \xrightarrow{\times 3/2} \text{Re} = \frac{9}{4} \;\to\; \frac{9}{4} \div 2 = \frac{9}{8}$$

Esa razón 9/8 es el tono pitagórico. Para pasar a cents, la unidad que usaremos en todo el bloque (explicada en qué son los cents):

$$c = 1200 \cdot \log_2 r$$

donde $r$ es la razón de frecuencias (adimensional) y $c$ el tamaño del intervalo en cents. Un semitono temperado mide 100 cents y la octava, 1200.

Tabla de las 12 notas pitagóricas

Si tomamos la cadena clásica de once quintas Mi♭ - Si♭ - Fa - Do - Sol - Re - La - Mi - Si - Fa♯ - Do♯ - Sol♯ y la reducimos a una octava sobre Do4 = 261,63 Hz, obtenemos:

Nota	Quintas desde Do	Razón	Cents	Diferencia con el temperamento igual	Frecuencia (Do4 = 261,63 Hz)
Do	0	1/1	0,00	0,00	261,63 Hz
Do♯	+7	2187/2048	113,69	+13,69	279,38 Hz
Re	+2	9/8	203,91	+3,91	294,33 Hz
Mi♭	−3	32/27	294,13	−5,87	310,07 Hz
Mi	+4	81/64	407,82	+7,82	331,12 Hz
Fa	−1	4/3	498,04	−1,96	348,83 Hz
Fa♯	+6	729/512	611,73	+11,73	372,51 Hz
Sol	+1	3/2	701,96	+1,96	392,44 Hz
Sol♯	+8	6561/4096	815,64	+15,64	419,07 Hz
La	+3	27/16	905,87	+5,87	441,49 Hz
Si♭	−2	16/9	996,09	−3,91	465,11 Hz
Si	+5	243/128	1109,78	+9,78	496,68 Hz
Do	—	2/1	1200,00	0,00	523,25 Hz

Observa el patrón: cada quinta hacia arriba añade +1,96 cents respecto al temperamento igual, y cada quinta hacia abajo resta lo mismo. Por eso el Sol♯ (ocho quintas arriba) ya está casi 16 cents alto.

Tono, limma y apótome: los intervalos pequeños

De la tabla salen tres intervalos que conviene conocer por su nombre:

Intervalo	Razón	Cents	Ejemplo
Tono pitagórico	9/8	203,91	Do - Re
Limma (semitono diatónico)	256/243	90,22	Mi - Fa, Si - Do
Apótome (semitono cromático)	2187/2048	113,69	Do - Do♯
Ditono (tercera mayor)	81/64	407,82	Do - Mi
Semiditono (tercera menor)	32/27	294,13	Re - Fa
Coma pitagórica	531441/524288	23,46	apótome − limma

Fíjate en dos rasgos típicos del sistema:

• Los dos semitonos son distintos. El semitono diatónico (limma) es menor que el cromático (apótome). Un Do♯ pitagórico está más alto que un Re♭: al revés de lo que ocurre en la afinación justa.
• El tono no se divide en dos mitades iguales. Tono = limma + apótome: $90{,}22 + 113{,}69 = 203{,}91$ cents.

La limma se calcula restando dos tonos a una cuarta (Mi - Fa = Do - Fa menos Do - Mi):

$$\text{limma} = \frac{4/3}{(9/8)^2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{64}{81} = \frac{256}{243}$$

La coma pitagórica

El ciclo de quintas promete cerrarse: después de doce quintas deberíamos volver a la nota de partida, siete octavas más arriba. Pero con quintas puras no ocurre:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{12} = \frac{531441}{4096} \approx 129{,}746 \qquad \text{frente a} \qquad 2^{7} = 128$$

La diferencia entre ambas cantidades, expresada como razón, es la coma pitagórica:

$$\text{coma pitagórica} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288} \approx 1{,}01364 \;\approx\; 23{,}46\ \text{cents}$$

Es casi un cuarto de semitono temperado. Si siguiéramos sumando quintas puras, nunca volveríamos a la nota de partida: el «círculo» de quintas sería en realidad una espiral. En la voz o en un violín eso da igual, porque cada nota se ajusta sobre la marcha. En un órgano con doce teclas por octava, no: hay que cerrar el ciclo en algún sitio.

Explora en detalle esta y otras comas (sintónica, diesis, esquisma) en las comas musicales.

La quinta del lobo

Con doce notas fijas, once quintas pueden ser puras, pero la duodécima debe absorber la coma entera. En la cadena de la tabla, esa quinta está entre Sol♯ y Mi♭ (en realidad es una sexta disminuida escrita como quinta):

$$701{,}96 - 23{,}46 = 678{,}49\ \text{cents} \qquad \left(\text{razón } \tfrac{262144}{177147}\right)$$

Es la quinta del lobo, llamada así porque sus batimientos rápidos recuerdan un aullido. Escúchala comparada con una quinta pura sobre la misma nota:

▶ Quinta pura: Sol♯4 - Re♯5 ▶ Quinta del lobo: Sol♯4 - Mi♭5

La posición del lobo es una elección: situarlo entre Sol♯ y Mi♭ deja utilizables las tonalidades cercanas a Do, que eran las habituales. El comparador de sistemas te dejará moverlo y oír el resultado:

Ventajas e inconvenientes

Ventajas:

• Quintas, cuartas y octavas perfectamente puras (salvo el lobo), sin batimientos.
• Construcción muy sencilla: solo hace falta afinar quintas y octavas de oído.
• Tonos todos iguales (9/8), lo que da melodías muy «claras» y sensibles altas, que tienden con fuerza a la tónica.

Inconvenientes:

• Terceras mayores muy abiertas: el ditono 81/64 mide 407,82 cents, 21,51 cents más que la tercera pura 5/4 (386,31 cents). Esa diferencia es la coma sintónica, que estudiarás en la afinación según Zarlino.
• Terceras menores estrechas (32/27, 294,13 cents, frente a 6/5, 315,64 cents).
• La quinta del lobo impide usar ciertas tonalidades en instrumentos de afinación fija.

Escucha la diferencia entre una tercera mayor pitagórica y una pura. La pitagórica bate unas 16 veces por segundo (entre el 5.º armónico de Do y el 4.º de Mi):

▶ Tercera mayor pitagórica Do4 - Mi4 (81/64) ▶ Tercera mayor pura Do4 - Mi4 (5/4)

La afinación pitagórica en la música

• Canto llano y música medieval. En la monodia y en la primera polifonía (organum, Escuela de Notre Dame), las consonancias perfectas eran la octava, la quinta y la cuarta. Las terceras se consideraban consonancias imperfectas o disonancias, algo coherente con lo ásperas que suenan en este sistema.
• Cadencias medievales. Las cadencias de doble sensible del siglo XIV (por ejemplo, en Guillaume de Machaut) aprovechan semitonos muy estrechos, típicos de la limma pitagórica.
• El declive. Cuando en el siglo XV la tercera se convierte en el centro de la armonía, el sistema pitagórico deja paso a la afinación justa y a los temperamentos mesotónicos (ver temperamento mesotónico).
• Instrumentos de cuerda sin trastes. A menudo se lee que violín, viola o violonchelo «usan la afinación pitagórica». No es exacto. Afinan sus cuerdas al aire por quintas puras, y en la melodía muchos intérpretes abren las terceras mayores y suben las sensibles, algo cercano a lo pitagórico. Pero en acordes y con piano tienden a la tercera pura o al temperamento igual. La afinación real de un cuarteto de cuerda es flexible y depende del contexto.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Boecio. De institutione musica (c. 510). Ed. española: Tratado de música, trad. S. Villegas. Madrid: Ediciones Clásicas, 2005.
• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Lindley, M. «Pythagorean intonation». En Grove Music Online. Oxford University Press.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.