La afinación justa según Zarlino y la coma sintónica

La afinación justa (también llamada natural o entonación justa) busca lo que la afinación pitagórica no consigue: terceras perfectamente puras. Su gran teórico fue Gioseffo Zarlino, que en 1558 la presentó como la afinación «natural» de la música vocal. El precio que paga es un tono que ya no mide siempre lo mismo y una pequeña diferencia, la coma sintónica, que aparece en cuanto intentas modular.

Escucha el mismo acorde de Do mayor en tres sistemas. El justo suena más quieto; el pitagórico, más áspero:

▶ Do mayor en afinación justa (4:5:6) ▶ Do mayor en temperamento igual ▶ Do mayor en afinación pitagórica

¿Qué es la afinación justa?

Es un sistema en el que los intervalos se afinan con razones de números enteros pequeños tomadas de la serie armónica. Mientras el sistema pitagórico solo usa los números 2 y 3, la afinación justa añade el 5, que es el que produce la tercera mayor:

Intervalo	Armónicos	Razón	Cents
Octava	2 y 1	2/1	1200,00
Quinta justa	3 y 2	3/2	701,96
Cuarta justa	4 y 3	4/3	498,04
Tercera mayor	5 y 4	5/4	386,31
Tercera menor	6 y 5	6/5	315,64
Sexta mayor	5 y 3	5/3	884,36
Sexta menor	8 y 5	8/5	813,69

La regla práctica: para cada intervalo se toma la razón con los números más pequeños posibles. La tercera mayor es 5/4 (armónicos 5 y 4), no otras razones más complicadas que den un tamaño parecido.

El resultado es que el acorde mayor queda en la proporción exacta 4:5:6, la misma que tienen los armónicos 4, 5 y 6 de cualquier sonido. Sus armónicos coinciden y no hay batimientos.

Zarlino y Le istitutioni harmoniche (1558)

Gioseffo Zarlino (Chioggia, 1517 - Venecia, 1590) fue compositor, teórico y discípulo de Adrian Willaert. En 1565 se convirtió en maestro de capilla de la basílica de San Marcos de Venecia, puesto en el que sucedió a Cipriano de Rore (no directamente a Willaert, como a veces se lee).

En Le istitutioni harmoniche (Venecia, 1558) defendió que las consonancias nacen del senario, los números del 1 al 6. Con ellos se forman la octava (2:1), la quinta (3:2), la cuarta (4:3), la tercera mayor (5:4), la tercera menor (6:5) y la sexta mayor (5:3). Amplió el tema en las Dimostrationi harmoniche (1571) y los Sopplimenti musicali (1588).

Zarlino era consciente de que la afinación justa no se podía llevar tal cual a un teclado. En las mismas Istitutioni propuso para esos instrumentos un temperamento mesotónico de 2/7 de coma, y más tarde aceptó el temperamento igual para el laúd. Lo verás en el temperamento mesotónico.

La escala de Zarlino: tabla completa

Partiendo de Do4 = 261,63 Hz:

Nota	Razón	Cents	Diferencia con el temperamento igual	Frecuencia	Intervalo con la nota anterior
Do	1/1	0,00	0,00	261,63 Hz	—
Re	9/8	203,91	+3,91	294,33 Hz	tono mayor 9/8
Mi	5/4	386,31	−13,69	327,03 Hz	tono menor 10/9
Fa	4/3	498,04	−1,96	348,83 Hz	semitono 16/15
Sol	3/2	701,96	+1,96	392,44 Hz	tono mayor 9/8
La	5/3	884,36	−15,64	436,04 Hz	tono menor 10/9
Si	15/8	1088,27	−11,73	490,55 Hz	tono mayor 9/8
Do	2/1	1200,00	0,00	523,25 Hz	semitono 16/15

▶ Escala de Do mayor en afinación justa

Compara con la escala pitagórica: el Mi, el La y el Si están ahora por debajo del piano, porque salen de terceras puras y no de quintas encadenadas.

La escala se construye con los tres acordes mayores de tónica, dominante y subdominante, todos en proporción 4:5:6:

• Do - Mi - Sol = 1 : 5/4 : 3/2
• Fa - La - Do = 4/3 : 5/3 : 2
• Sol - Si - Re = 3/2 : 15/8 : 9/4

Tono mayor, tono menor y semitono

Los intervalos entre grados se calculan dividiendo razones (restar intervalos es dividir sus razones):

$$\text{Do-Re} = \frac{9}{8} \qquad \text{Re-Mi} = \frac{5/4}{9/8} = \frac{10}{9} \qquad \text{Mi-Fa} = \frac{4/3}{5/4} = \frac{16}{15}$$

Así aparecen tres tamaños de «paso»:

Intervalo	Razón	Cents	Dónde
Tono mayor	9/8	203,91	Do - Re, Fa - Sol, La - Si
Tono menor	10/9	182,40	Re - Mi, Sol - La
Semitono diatónico	16/15	111,73	Mi - Fa, Si - Do

La coma sintónica (81/80)

La diferencia entre el tono mayor y el tono menor es la coma sintónica, también llamada coma de Dídimo:

$$\frac{9/8}{10/9} = \frac{81}{80} = 1{,}0125 \qquad 1200 \cdot \log_2 \frac{81}{80} \approx 21{,}51\ \text{cents}$$

Es la misma diferencia que separa la tercera mayor pitagórica (dos tonos 9/8) de la tercera pura:

$$\frac{81/64}{5/4} = \frac{81}{80}$$

Dicho de otro modo: cuatro quintas puras reducidas a la octava (Do - Sol - Re - La - Mi) dan un Mi una coma sintónica más alto que el que forma una tercera pura con Do. Esta coma es el centro de toda la historia de los temperamentos renacentistas y barrocos: el mesotónico la reparte entre las quintas para conseguir terceras puras. Tienes todas las comas comparadas en las comas musicales.

No confundas la coma sintónica (21,51 cents) con la coma pitagórica (23,46 cents). Su diferencia, apenas 1,95 cents, se llama esquisma.

Semitonos cromáticos y diesis

Cuando se añaden las alteraciones, surgen más intervalos pequeños. El semitono cromático justo es la diferencia entre una tercera mayor y una menor (Do - Mi frente a Do - Mi♭):

$$\frac{5/4}{6/5} = \frac{25}{24} \approx 70{,}67\ \text{cents}$$

Restándolo de cada tono se obtienen los semitonos diatónicos:

Semitono	Cálculo	Razón	Cents
Cromático	5/4 : 6/5	25/24	70,67
Diatónico menor	10/9 : 25/24	16/15	111,73
Diatónico mayor	9/8 : 25/24	27/25	133,24

Y al comparar dos semitonos entre sí aparecen las diesis:

Nombre	Cálculo	Razón	Cents
Coma sintónica	9/8 : 10/9	81/80	21,51
Diesis menor	16/15 : 25/24	128/125	41,06
Diesis mayor	27/25 : 25/24	648/625	62,57

La diesis menor (128/125) es, por ejemplo, la diferencia entre un Do♯ obtenido como tercera pura sobre La y un Re♭ obtenido como tercera pura bajo Fa. En afinación justa, Do♯ y Re♭ no son la misma nota: el sostenido queda más bajo que el bemol.

Ventajas e inconvenientes de la afinación justa

Ventajas:

• Los acordes mayores (4:5:6) y menores (10:12:15) de las funciones principales suenan completamente puros.
• Es la afinación hacia la que tienden de forma natural los coros y los conjuntos sin instrumentos de afinación fija cuando sostienen acordes.

Inconvenientes:

• No todas las quintas son puras. En la escala de Do, la quinta Re - La mide $\frac{5/3}{9/8} = \frac{40}{27}$, es decir, 680,45 cents: una coma sintónica por debajo de la quinta justa. El acorde de Re menor queda desafinado.
• Dos tamaños de tono (y varios de semitono) impiden transportar: la misma melodía en otra tonalidad cambia sus intervalos.
• En un instrumento de 12 notas por octava solo funciona en una tonalidad y sus vecinas. Para modular con terceras y quintas puras harían falta muchas más teclas por octava. Hubo intentos, como el archicembalo de Nicola Vicentino (1555), con 31 notas por octava, aunque este se basaba en otra división.

Escucha el problema de la quinta Re - La:

▶ Quinta pura Re4 - La4 (3/2) ▶ Quinta Re4 - La4 de Zarlino (40/27)

La afinación justa en la práctica

• Canto coral. Un coro que canta a cappella tiende a afinar las terceras de los acordes largos hacia 5/4 y 6/5. En progresiones como I - VI - II - V - I, esa tendencia hace que el tono «derive»: al volver a la tónica puede haber bajado una coma sintónica. Es el llamado problema de la coma o de la deriva de afinación, bien conocido por los directores.
• Cuartetos de cuerda y metales. En acordes sostenidos, los intérpretes bajan la tercera mayor del acorde unos 14 cents respecto al piano para que no bata.
• Polifonía renacentista. La teoría de Zarlino pensaba sobre todo en la música vocal de su tiempo, la de Willaert o Palestrina, donde el acorde con tercera ya era el centro del sonido.
• Música actual. Algunos compositores del siglo XX, como Harry Partch o Ben Johnston, escribieron música en afinación justa extendida, con razones de números primos más altos (7, 11, 13).

La relación entre batimientos y consonancia la tienes explicada en consonancia y disonancia.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Zarlino, G. (1558). Le istitutioni harmoniche. Venecia.
• Ptolomeo, C. Harmónicos (s. II d. C.). Trad. inglesa: Barker, A. (1989). Greek Musical Writings II: Harmonic and Acoustic Theory. Cambridge University Press.
• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). Nueva York: W. W. Norton.
• Palisca, C. V. (1985). Humanism in Italian Renaissance Musical Thought. New Haven: Yale University Press.