El temperamento mesotónico: 1/4 de coma, construcción y quinta del lobo

Durante casi dos siglos, de principios del XVI a finales del XVII, los órganos y los claves de Europa no se afinaron ni en afinación pitagórica ni en temperamento igual, sino en temperamento mesotónico. Su objetivo era claro: conseguir terceras mayores puras, las que la polifonía renacentista había convertido en el centro del sonido. El precio es alto: una quinta del lobo aún más feroz que la pitagórica y un puñado de tonalidades impracticables.

Escucha el acorde de Do mayor en temperamento igual y en mesotónico de 1/4 de coma. En el segundo, la tercera no bate:

▶ Do mayor en temperamento igual ▶ Do mayor en mesotónico de 1/4 de coma

¿Qué es el temperamento mesotónico?

Es una familia de temperamentos regulares en los que todas las quintas se estrechan la misma cantidad (salvo la que cierra el ciclo) para que las terceras mayores se acerquen a la pura 5/4. El problema de partida es la coma sintónica (81/80, 21,51 cents): cuatro quintas puras (Do - Sol - Re - La - Mi) llevan a un Mi una coma más alto que la tercera pura. Lo tienes explicado en la afinación justa de Zarlino y en las comas musicales.

La solución mesotónica es repartir esa coma entre las cuatro quintas. Si cada una se estrecha un cuarto de coma sintónica, al llegar al Mi la coma ha desaparecido por completo y la tercera Do - Mi es pura. Ese es el mesotónico de 1/4 de coma, el modelo de toda la familia.

Cómo se construye: quintas reducidas 1/4 de coma

La quinta mesotónica mide:

$$q = 701{,}955 - \frac{21{,}506}{4} = 701{,}955 - 5{,}377 \approx 696{,}58\ \text{cents}$$

y su razón es $q = \sqrt[4]{5} \approx 1{,}49535$, porque cuatro de estas quintas deben dar exactamente dos octavas más una tercera pura ($4 \cdot 5/4 = 5$):

$$q^4 = 5 \qquad 4 \cdot 696{,}58 = 2786{,}31 = 2400 + 386{,}31\ \text{cents}$$

Todo el sistema sale de esa quinta: basta con encadenarla hacia arriba y hacia abajo desde Do y reducir las notas a la octava, igual que en el sistema pitagórico.

Tabla de las 12 notas en mesotónico de 1/4 de coma

Con la cadena habitual de once quintas Mi♭ - Si♭ - Fa - Do - Sol - Re - La - Mi - Si - Fa♯ - Do♯ - Sol♯ y Do4 = 261,63 Hz:

Nota	Quintas desde Do	Cents	Diferencia con el temperamento igual	Frecuencia
Do	0	0,00	0,00	261,63 Hz
Do♯	+7	76,05	−23,95	273,38 Hz
Re	+2	193,16	−6,84	292,51 Hz
Mi♭	−3	310,26	+10,26	312,98 Hz
Mi	+4	386,31	−13,69	327,04 Hz
Fa	−1	503,42	+3,42	349,93 Hz
Fa♯	+6	579,47	−20,53	365,64 Hz
Sol	+1	696,58	−3,42	391,23 Hz
Sol♯	+8	772,63	−27,37	408,80 Hz
La	+3	889,74	−10,26	437,41 Hz
Si♭	−2	1006,84	+6,84	468,02 Hz
Si	+5	1082,89	−17,11	489,04 Hz
Do	—	1200,00	0,00	523,25 Hz

Observa el patrón inverso al pitagórico: cada quinta hacia arriba resta 3,42 cents respecto al temperamento igual y cada quinta hacia abajo los suma. Por eso los sostenidos quedan muy bajos (Sol♯, −27,37 cents) y los bemoles, altos.

▶ Escala de Do mayor en mesotónico de 1/4 de coma

Los intervalos del mesotónico

Intervalo	Ejemplo	Cents	Frente al puro
Quinta	Do - Sol	696,58	−5,38
Tercera mayor	Do - Mi	386,31	0,00
Tercera menor	Do - Mi♭	310,26	−5,38
Tono	Do - Re	193,16	—
Semitono diatónico	Mi - Fa	117,11	+5,38 (frente a 16/15)
Semitono cromático	Do - Do♯	76,05	+5,38 (frente a 25/24)
Quinta del lobo	Sol♯ - Mi♭	737,64	+35,68
Tercera «del lobo»	Si - Mi♭	427,37	+41,06

Dos consecuencias importantes:

• El semitono diatónico es mayor que el cromático (117 frente a 76 cents), como en la afinación justa y al revés que en la pitagórica. Do♯ y Re♭ son notas distintas: el sostenido está unos 41 cents por debajo del bemol. Esa diferencia es una diesis menor (128/125).
• Solo ocho terceras mayores son puras. Las cuatro que cruzan el lobo (por ejemplo Si - Mi♭, Fa♯ - Si♭, Do♯ - Fa y Sol♯ - Do) son en realidad cuartas disminuidas de 427 cents, una diesis más anchas que la pura: inservibles como terceras.

La quinta del lobo

Once quintas estrechas no cierran el ciclo: les falta mucho para llegar a siete octavas, y la duodécima quinta debe compensarlo. En la disposición habitual está entre Sol♯ y Mi♭ (es, en realidad, una sexta disminuida):

$$8400 - 11 \cdot 696{,}58 \approx 737{,}64\ \text{cents}$$

Es 35,68 cents más ancha que una quinta pura, un lobo mucho más agresivo que el pitagórico (que era 23,46 cents estrecho). Con Sol♯4 = 408,80 Hz, el Mi♭5 mesotónico mide 625,96 Hz, mientras que una quinta pura daría 613,20 Hz. El tercer armónico de Sol♯ y el segundo de Mi♭ chocan con unos 25 batimientos por segundo:

▶ Quinta pura sobre Sol♯4 (408,80 y 613,20 Hz) ▶ Quinta del lobo mesotónica Sol♯4 - Mi♭5 (408,80 y 625,96 Hz)

Con el lobo en Sol♯ - Mi♭, las tonalidades cómodas van, aproximadamente, de Si♭ mayor a La mayor, junto con Sol, Re y La menor. Mi mayor ya necesita el Re♯, que el teclado no tiene: en su lugar hay un Mi♭. Puedes comprobarlo en el comparador de afinaciones:

Variantes: 1/3, 2/7, 1/5 y 1/6 de coma

El «mesotónico» no es un único sistema. Según qué fracción de la coma sintónica se reste a cada quinta, cambia el equilibrio entre quintas y terceras:

Variante	Quinta	Tercera mayor	Tercera menor	Lobo	Qué se consigue
1/3 de coma	694,79	379,14 (−7,17)	315,64 (0,00)	757,35	Terceras menores puras
2/7 de coma	695,81	383,24 (−3,07)	312,57 (−3,07)	746,09	Terceras mayores y menores igual de estrechas
1/4 de coma	696,58	386,31 (0,00)	310,26 (−5,38)	737,64	Terceras mayores puras
1/5 de coma	697,65	390,61 (+4,30)	307,04 (−8,60)	725,81	Compromiso más cercano a las quintas puras
1/6 de coma	698,37	393,48 (+7,17)	304,89 (−10,75)	717,92	Quintas mejores y lobo más tolerable

Entre paréntesis, la desviación en cents respecto a la tercera pura. Todas se calculan igual: quinta $= 701{,}955 - f \cdot 21{,}506$, donde $f$ es la fracción de coma; tercera mayor $= 4q - 2400$; tercera menor $= 2400 - 3q$; lobo $= 8400 - 11q$.

Cuanto menor es la fracción, más se parece el sistema al temperamento igual (que equivale, aproximadamente, a estrechar cada quinta 1/11 de coma sintónica). Algunas de estas variantes coinciden casi exactamente con divisiones iguales de la octava: el de 1/3 de coma con la división en 19 partes y el de 1/4 con la división en 31 partes, que estudió Christiaan Huygens a finales del siglo XVII.

Aron, Zarlino y Salinas

El mesotónico se difundió en la práctica antes de que los teóricos lo describieran con exactitud. Tres nombres marcan su historia:

• Pietro Aron, en Toscanello in musica (Venecia, 1523), explicó cómo afinar un teclado con terceras mayores puras y quintas «un poco estrechas». Su descripción suele interpretarse como mesotónico de 1/4 de coma, aunque Aron no lo formuló en términos matemáticos.
• Gioseffo Zarlino, en Le istitutioni harmoniche (1558), sabía que su afinación justa no podía llevarse a un teclado de doce notas. Propuso para esos instrumentos un temperamento de 2/7 de coma, con terceras mayores y menores igual de imperfectas.
• Francisco de Salinas (1513-1590), organista ciego y catedrático en Salamanca, describió en De musica libri septem (Salamanca, 1577) los temperamentos de 1/3, 2/7 y 1/4 de coma. El de 1/3, con terceras menores puras, se asocia sobre todo a su nombre. Salinas es la gran figura española del bloque y, además, dejó constancia de que en la vihuela de trastes se usaba una división igual de la octava.

Teclas partidas: más de doce notas por octava

El lobo y la falta de notas enarmónicas eran un problema real. Si una obra necesitaba La♭ y el teclado solo tenía Sol♯, el acorde de Fa menor sonaba con una tercera de 427 cents. La solución de muchos constructores de los siglos XVI y XVII fue la subsemitonia: dividir algunas teclas negras en dos mitades, una para el sostenido y otra para el bemol. Las más frecuentes eran Re♯/Mi♭ y Sol♯/La♭, precisamente las notas que el lobo separa.

Algunos instrumentos llegaron mucho más lejos. El archicembalo de Nicola Vicentino (1555) tenía 31 notas por octava, y se conservan claves italianos de principios del siglo XVII con teclados de hasta 31 teclas por octava, construidos para poder tocar música cromática y enarmónica en afinaciones cercanas al mesotónico.

Repertorio: qué música suena mejor en mesotónico

• Virginalistas ingleses. William Byrd, John Bull, Orlando Gibbons y los autores del Fitzwilliam Virginal Book escribieron para virginales y claves afinados en mesotónico. Hay excepciones célebres: la fantasía de Bull sobre el hexacordo Ut re mi fa sol la, que lo transporta por todas las tonalidades, no puede tocarse bien en mesotónico estricto.
• Frescobaldi. Las Toccate (1615 y 1627) y las Fiori musicali (1635) de Girolamo Frescobaldi aprovechan el contraste entre las terceras puras y las disonancias de las toccate di durezze e ligature, que en mesotónico adquieren un color muy particular.
• Sweelinck y la escuela del norte, y los organistas ibéricos como Antonio de Cabezón y Francisco Correa de Arauxo, cuya música para tecla se mueve casi siempre dentro de las tonalidades que el mesotónico permite.
• Música vocal con continuo de Monteverdi, Schütz o Purcell, cuando se acompaña con órgano o clave en afinación histórica.

Con la ampliación de las tonalidades a finales del siglo XVII, el mesotónico dio paso a los temperamentos desiguales, que eliminan el lobo a cambio de renunciar a las terceras puras.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Aron, P. (1523). Toscanello in musica. Venecia.
• Zarlino, G. (1558). Le istitutioni harmoniche. Venecia.
• Salinas, F. de (1577). De musica libri septem. Salamanca: Mathias Gastius.
• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Lindley, M. «Mean-tone». En Grove Music Online. Oxford University Press.
• Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). Nueva York: W. W. Norton.