Qué es un cent en música y cómo calcular los cents de un intervalo

Si alguna vez has mirado la pantalla de un afinador, has visto los cents: esa aguja que marca «+8» o «−15» cuando la nota no está en su sitio. El cent es la unidad con la que se miden los intervalos musicales con precisión, y es imprescindible para comparar sistemas de afinación. Aquí verás qué es exactamente, cómo se calcula y por qué no es lo mismo que hablar en hercios.

Escucha tres desviaciones a partir del La4 = 440 Hz. La primera apenas se nota, la segunda es un cuarto de tono y la tercera, un semitono completo:

▶ La4 y La4 + 10 cents (442,55 Hz) ▶ La4 y La4 + 50 cents (452,89 Hz) ▶ La4 y La4 + 100 cents (Si♭4)

¿Qué es un cent?

Un cent es la centésima parte de un semitono del temperamento igual. Como la octava tiene doce semitonos temperados, mide exactamente 1200 cents. Así, en el temperamento igual todos los intervalos son múltiplos redondos de 100: la tercera mayor mide 400 cents, la quinta 700 y la octava 1200.

La ventaja es enorme. Un intervalo como la quinta pura se expresa en frecuencias con una razón (3/2), pero en cents es un número que se compara de un vistazo: 701,96 cents. Enseguida ves que está 1,96 cents por encima de la quinta del piano.

Un cent es una razón de frecuencias diminuta:

$$2^{1/1200} \approx 1{,}000578$$

Es decir, subir un cent supone multiplicar la frecuencia por 1,000578, un aumento de algo menos del 0,06 %.

Por qué cents y no hercios

Nuestro oído percibe los intervalos por razones de frecuencia, no por diferencias. De La3 (220 Hz) a La4 (440 Hz) hay 220 Hz; de La4 a La5 (880 Hz), 440 Hz. Sin embargo, las dos distancias suenan igual: son dos octavas. La percepción de la altura es aproximadamente logarítmica, y el cent es una unidad logarítmica.

Por eso un mismo número de hercios no significa lo mismo en todos los registros:

Nota de referencia	Frecuencia	1 Hz de diferencia equivale a	1 cent equivale a
La2	110 Hz	15,67 cents	0,064 Hz
La3	220 Hz	7,85 cents	0,127 Hz
La4	440 Hz	3,93 cents	0,254 Hz
La5	880 Hz	1,97 cents	0,508 Hz

Un contrabajo desafinado 1 Hz en el grave está muy desafinado (casi 16 cents); un flautín desafinado 1 Hz en el agudo, apenas nada. Con cents, en cambio, el dato vale igual en cualquier octava.

Cómo calcular los cents de un intervalo

Si dos notas tienen frecuencias $f_1$ y $f_2$ (en Hz), el intervalo entre ellas mide:

$$c = 1200 \cdot \log_2 \frac{f_2}{f_1}$$

donde $c$ es el tamaño del intervalo en cents y $\log_2$ el logaritmo en base 2. Si en lugar de frecuencias tienes la razón $r$ del intervalo, basta con escribir $c = 1200 \cdot \log_2 r$. El resultado es positivo si la segunda nota es más aguda y negativo si es más grave.

Muchas calculadoras no tienen la tecla $\log_2$. No importa: puedes usar el logaritmo decimal o el natural con estas equivalencias:

$$c = 1200 \cdot \frac{\log_{10} r}{\log_{10} 2} \approx 3986{,}31 \cdot \log_{10} r \qquad c = 1200 \cdot \frac{\ln r}{\ln 2} \approx 1731{,}23 \cdot \ln r$$

Ejemplo 1: la quinta pura. Su razón es 3/2:

$$c = 3986{,}31 \cdot \log_{10} 1{,}5 = 3986{,}31 \cdot 0{,}17609 \approx 701{,}96\ \text{cents}$$

Ejemplo 2: dos frecuencias. ¿Qué intervalo forman Do4 = 261,63 Hz y Mi4 = 329,63 Hz?

$$c = 1200 \cdot \log_2 \frac{329{,}63}{261{,}63} \approx 399{,}98\ \text{cents}$$

Son 400 cents, una tercera mayor temperada (la pequeña diferencia se debe al redondeo de las frecuencias a dos decimales).

De cents a frecuencia: la conversión inversa

Despejando la fórmula anterior obtienes la frecuencia de una nota situada $c$ cents por encima (o por debajo, si $c$ es negativo) de otra:

$$f_2 = f_1 \cdot 2^{c/1200}$$

Y la razón correspondiente a un intervalo en cents es $r = 2^{c/1200}$.

Ejemplos a partir de La4 = 440 Hz:

Desviación	Cálculo	Frecuencia
+1 cent	440 · 2^(1/1200)	440,25 Hz
+5 cents	440 · 2^(5/1200)	441,27 Hz
+10 cents	440 · 2^(10/1200)	442,55 Hz
−10 cents	440 · 2^(−10/1200)	437,47 Hz
+50 cents	440 · 2^(50/1200)	452,89 Hz
+100 cents	440 · 2^(100/1200)	466,16 Hz

Fíjate en que +10 y −10 cents no están a la misma distancia en hercios de 440 (2,55 frente a 2,53 Hz): la escala es logarítmica, no lineal.

Tabla de intervalos puros y temperados en cents

Esta es la tabla que más vas a usar en todo el bloque de afinación. Compara cada intervalo puro, tomado de la serie armónica, con su equivalente temperado:

Intervalo	Razón pura	Cents puro	Cents temperado	Diferencia (temperado − puro)
Segunda menor	16/15	111,73	100	−11,73
Tono menor	10/9	182,40	200	+17,60
Tono mayor	9/8	203,91	200	−3,91
Tercera menor	6/5	315,64	300	−15,64
Tercera mayor	5/4	386,31	400	+13,69
Cuarta justa	4/3	498,04	500	+1,96
Tritono	45/32	590,22	600	+9,78
Quinta justa	3/2	701,96	700	−1,96
Sexta menor	8/5	813,69	800	−13,69
Sexta mayor	5/3	884,36	900	+15,64
Séptima armónica	7/4	968,83	1000	+31,17
Séptima menor	16/9	996,09	1000	+3,91
Séptima mayor	15/8	1088,27	1100	+11,73
Octava	2/1	1200,00	1200	0,00

La conclusión salta a la vista: quintas y cuartas casi coinciden (menos de 2 cents), mientras que terceras y sextas se desvían entre 13 y 16 cents. Tienes la explicación de por qué en el temperamento igual.

Sumar y restar intervalos con cents

La propiedad más útil de los cents es que convierten las multiplicaciones en sumas. Con razones, sumar dos intervalos obliga a multiplicarlas; con cents, basta con sumar:

$$\text{quinta} + \text{cuarta} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = 2 \qquad 701{,}96 + 498{,}04 = 1200\ \text{cents}$$

Del mismo modo, restar intervalos es dividir razones o restar cents. Dos tonos pitagóricos (9/8 · 9/8 = 81/64) miden $2 \cdot 203{,}91 = 407{,}82$ cents; si les restas la tercera pura (386,31 cents) obtienes 21,51 cents, la coma sintónica. Todas estas pequeñas diferencias están reunidas en las comas musicales.

¿Cuántos cents distingue el oído?

La diferencia mínima perceptible de altura depende de muchas cosas: el registro, la intensidad, la duración y el timbre del sonido y, sobre todo, del entrenamiento del oyente. Como orden de magnitud:

• Al comparar dos notas sucesivas en el registro medio, la mayoría de las personas distingue diferencias de entre 5 y 10 cents. Los músicos entrenados pueden bajar de esa cifra en condiciones favorables.
• Al escuchar dos notas simultáneas, el oído no necesita comparar alturas: detecta los batimientos, que delatan desviaciones de muy pocos cents. Por eso un afinador de pianos ajusta los unísonos mucho mejor que cualquier oyente que compare notas por separado.

Lo explicamos a fondo en el oído humano y en batimientos e interferencias.

Los cents en los afinadores

Los afinadores cromáticos electrónicos miden la frecuencia de la nota que tocas, buscan la nota temperada más próxima y te muestran la desviación en cents, normalmente en una escala de −50 a +50 (más allá de ±50 cents, la nota más próxima ya es otra). Los afinadores de aguja o de pantalla corrientes trabajan con una precisión del orden de 1 cent; los estroboscópicos, pensados para afinadores profesionales y técnicos de instrumentos, llegan a décimas de cent.

Algunos ejemplos prácticos en cents:

• Una orquesta que afina a La = 442 Hz está 7,85 cents por encima del La 440.
• El diapasón barroco convencional La = 415 Hz está unos 101 cents por debajo del 440: casi exactamente un semitono. Por eso muchos claves tienen el teclado desplazable, que permite pasar de 440 a 415 moviéndolo una tecla.
• El famoso La = 432 Hz está 31,77 cents por debajo del 440, algo menos de un tercio de semitono (ver 432 Hz frente a 440 Hz).

Muchos afinadores permiten, además, elegir un temperamento histórico. En ese caso comparan cada nota con una tabla de desviaciones en cents: por ejemplo, en el temperamento mesotónico el Mi debe quedar 13,69 cents por debajo del Mi temperado.

Alexander Ellis y el origen del cent

El cent lo introdujo Alexander John Ellis (1814-1890), filólogo, matemático y acústico inglés, en 1885. Lo presentó en su estudio On the Musical Scales of Various Nations, publicado ese año en el Journal of the Society of Arts, y lo usó en el extenso apéndice de su traducción inglesa de la obra de Hermann von Helmholtz sobre la sensación del sonido (On the Sensations of Tone, 2.ª edición inglesa, 1885).

Ellis necesitaba comparar escalas de Java, China, Japón, la India o Arabia con las europeas, medidas con diapasones y instrumentos reales. Las razones de frecuencia eran incómodas para eso; una unidad aditiva, basada en el semitono del piano que todos sus lectores conocían, lo simplificaba todo. El cent se impuso y hoy es la unidad estándar en acústica musical, etnomusicología y afinación.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Ellis, A. J. (1885). «On the Musical Scales of Various Nations». Journal of the Society of Arts, 33.
• Helmholtz, H. von (1885). On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music. Trad. y apéndices de A. J. Ellis. 2.ª ed. inglesa. Londres: Longmans, Green (reed. Dover, 1954).
• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound. 3.ª ed. San Francisco: Addison-Wesley.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.