Las comas musicales: pitagórica, sintónica, diesis y esquisma

Toda la historia de la afinación gira en torno a unos intervalos diminutos que nadie quiere y que nunca desaparecen: las comas. Surgen porque los intervalos puros de la serie armónica no encajan entre sí. Si sigues un camino de quintas y otro de terceras hacia la «misma» nota, llegas a dos notas ligeramente distintas. Esa diferencia es una coma.

Escucha la más famosa en la práctica, la coma sintónica: primero el Mi que sale de cuatro quintas puras (pitagórico), después el Mi de la tercera pura. Solo los separan 21,51 cents:

▶ Mi4 pitagórico (81/64) y Mi4 justo (5/4) ▶ Unísono desafinado una coma pitagórica: 261,63 y 265,20 Hz

En el segundo ejemplo oyes dos Do separados por una coma pitagórica: laten unas 3,6 veces por segundo.

¿Qué es una coma musical?

Una coma es un intervalo muy pequeño, normalmente de entre 1 y 60 cents, que aparece al comparar dos cadenas de intervalos puros que en teoría deberían llevar a la misma nota. Como las razones puras se construyen con potencias de 2, 3 y 5, y ninguna potencia de 3 o de 5 es igual a una potencia de 2, esas cadenas nunca coinciden del todo.

En sentido estricto se reserva «coma» para las diferencias más pequeñas que un cuarto de tono, y diesis para las algo mayores. Pero en la práctica se usa «coma» como nombre genérico de toda la familia. Para medirlas usaremos siempre los cents: $c = 1200 \cdot \log_2 r$, donde $r$ es la razón de la coma.

Tabla de las comas principales

Nombre	Razón	En factores primos	Cents	Cómo surge
Esquisma	32805/32768	$3^8 \cdot 5 / 2^{15}$	1,95	Coma pitagórica − coma sintónica
Diasquisma	2048/2025	$2^{11} / (3^4 \cdot 5^2)$	19,55	Tres octavas − (cuatro quintas + dos terceras mayores)
Coma sintónica	81/80	$3^4 / (2^4 \cdot 5)$	21,51	Cuatro quintas − (dos octavas + una tercera mayor)
Coma pitagórica	531441/524288	$3^{12} / 2^{19}$	23,46	Doce quintas − siete octavas
Diesis menor	128/125	$2^7 / 5^3$	41,06	Octava − tres terceras mayores
Diesis mayor	648/625	$2^3 \cdot 3^4 / 5^4$	62,57	Cuatro terceras menores − octava

Todas se calculan dividiendo la razón de un camino entre la del otro. Veámoslas una a una.

La coma pitagórica (531441/524288)

Es la diferencia entre doce quintas puras y siete octavas:

$$\frac{(3/2)^{12}}{2^7} = \frac{3^{12}}{2^{19}} = \frac{531441}{524288} \approx 1{,}01364 \qquad c \approx 23{,}46\ \text{cents}$$

Si recorres el círculo de quintas con quintas puras (Do - Sol - Re - … - Si♯), el Si♯ final queda 23,46 cents por encima del Do de partida. En la afinación pitagórica esa coma se concentra en una sola quinta, la quinta del lobo. También es la diferencia entre los dos semitonos pitagóricos: apótome (113,69 cents) menos limma (90,22 cents).

La coma sintónica (81/80)

También llamada coma de Dídimo, es la diferencia entre cuatro quintas puras y dos octavas más una tercera mayor pura:

$$\frac{(3/2)^4}{2^2 \cdot 5/4} = \frac{81/16}{5} = \frac{81}{80} = 1{,}0125 \qquad c \approx 21{,}51\ \text{cents}$$

Es la que has oído al principio: el Mi pitagórico (81/64) frente al Mi justo (5/4). También separa el tono mayor (9/8) del tono menor (10/9) en la afinación justa de Zarlino. Es la coma más importante para la música con terceras: la que obliga a los coros a cappella a «derivar» y la que el temperamento mesotónico reparte entre las quintas.

El esquisma (32805/32768)

El esquisma (o schisma) es la diferencia entre la coma pitagórica y la sintónica:

$$\frac{531441/524288}{81/80} = \frac{32805}{32768} \qquad c = 23{,}46 - 21{,}51 \approx 1{,}95\ \text{cents}$$

También puede verse como el exceso de ocho quintas y una tercera mayor puras sobre cinco octavas. Un ejemplo concreto: el Fa♭ pitagórico (ocho quintas por debajo de Do) queda solo 1,95 cents por debajo del Mi justo. Algunos teóricos del siglo XV aprovecharon esa casi coincidencia para obtener terceras casi puras con quintas pitagóricas, como se explica en la afinación pitagórica.

Casi dos cents: menos de lo que la mayoría de oyentes distingue entre dos notas sucesivas.

El diasquisma (2048/2025)

El diasquisma es la diferencia entre la coma sintónica y el esquisma:

$$\frac{81/80}{32805/32768} = \frac{2048}{2025} \qquad c = 21{,}51 - 1{,}95 \approx 19{,}55\ \text{cents}$$

Surge cuando comparas tres octavas con cuatro quintas más dos terceras mayores puras, y también cuando apilas dos semitonos diatónicos justos (16/15) y les restas un tono mayor (9/8): $2 \cdot 111{,}73 - 203{,}91 = 19{,}55$ cents.

Las diesis menor y mayor

La diesis menor (128/125) es lo que les falta a tres terceras mayores puras para llegar a la octava:

$$\frac{2}{(5/4)^3} = \frac{128}{125} \qquad c = 1200 - 3 \cdot 386{,}31 \approx 41{,}06\ \text{cents}$$

Por eso, en afinación justa, Sol♯ y La♭ no son la misma nota. Un Sol♯ obtenido como tercera pura sobre Mi (Do - Mi - Sol♯) sale a 408,80 Hz con Do4 = 261,63 Hz; un La♭ obtenido como tercera pura bajo Do (La♭ - Do) sale a 418,61 Hz. El sostenido queda casi un cuarto de tono por debajo del bemol:

▶ Sol♯4 justo (25/16) y La♭4 justo (8/5): una diesis menor

La diesis mayor (648/625) es lo que sobra al apilar cuatro terceras menores puras frente a una octava:

$$\frac{(6/5)^4}{2} = \frac{1296}{1250} = \frac{648}{625} \qquad c = 4 \cdot 315{,}64 - 1200 \approx 62{,}57\ \text{cents}$$

Mide más de medio cuarto de tono. Fíjate en que la diesis mayor es exactamente la diesis menor más una coma sintónica: $41{,}06 + 21{,}51 = 62{,}57$ cents.

Cómo se relacionan las comas entre sí

Como todas se construyen con los mismos ingredientes (2, 3 y 5), las comas se pueden sumar y restar entre ellas:

Relación	En cents
Coma pitagórica = coma sintónica + esquisma	23,46 = 21,51 + 1,95
Coma sintónica = diasquisma + esquisma	21,51 = 19,55 + 1,95
Diesis menor = coma sintónica + diasquisma	41,06 = 21,51 + 19,55
Diesis mayor = diesis menor + coma sintónica	62,57 = 41,06 + 21,51

Es una buena forma de repasar: si recuerdas dos o tres comas, puedes reconstruir las demás.

La «coma» de los manuales: un noveno de tono

En muchos manuales de teoría musical se enseña que el tono tiene nueve comas, que el semitono cromático tiene cinco y el diatónico cuatro. De ahí sale la conocida afirmación de que Do♯ es «una coma más agudo» que Re♭. Conviene entender qué significa esto y qué no.

• Es una aproximación. Si divides el tono 9/8 en nueve partes iguales, cada una mide $203{,}91 / 9 \approx 22{,}66$ cents: un valor intermedio entre la coma sintónica (21,51) y la pitagórica (23,46). No coincide con ninguna coma real, y ninguna coma real cabe un número exacto de veces en un tono.
• Encaja con el sistema pitagórico. Con esa «coma» de 22,66 cents, cuatro comas dan 90,6 cents (la limma pitagórica mide 90,22) y cinco dan 113,3 cents (el apótome mide 113,69). Es decir, el reparto 4 + 5 describe bastante bien los semitonos pitagóricos, donde el cromático es mayor que el diatónico.
• No vale para todos los sistemas. En afinación justa ocurre al revés: el semitono diatónico (16/15, 111,73 cents) es mayor que el cromático (25/24, 70,67 cents), y Do♯ queda por debajo de Re♭. En el temperamento igual los dos semitonos miden 100 cents y Do♯ y Re♭ son la misma tecla.

Esta división didáctica tiene un antecedente teórico: la división de la octava en 53 partes iguales, cuyo paso (22,64 cents) es casi idéntico a esa «coma» de manual. En el siglo XVII la estudiaron Nicolaus Mercator y William Holder, y por eso a veces se habla de coma de Holder.

Las comas y los temperamentos

Cada sistema de afinación es, en el fondo, una decisión sobre qué hacer con las comas:

• La afinación pitagórica deja todas las quintas puras y concentra la coma pitagórica en el lobo.
• La afinación justa mantiene puras quintas y terceras de las funciones principales, pero la coma sintónica aparece en cuanto modulas (la quinta Re - La queda una coma baja).
• El temperamento mesotónico de 1/4 de coma estrecha cada quinta un cuarto de coma sintónica para que desaparezca en las terceras: cuatro quintas dan exactamente dos octavas más una tercera pura. La diesis menor sigue ahí, y por eso Sol♯ y La♭ son notas distintas.
• Los temperamentos desiguales reparten la coma pitagórica de forma irregular entre algunas quintas. En el Kirnberger III, por ejemplo, cuatro quintas se estrechan un cuarto de coma sintónica cada una y otra, un esquisma.
• El temperamento igual reparte la coma pitagórica entre las doce quintas y, al hacerlo, hace desaparecer todas las comas de la tabla: en él, doce quintas son siete octavas, tres terceras mayores son una octava y cuatro terceras menores, también.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Lindley, M. «Temperaments». En Grove Music Online. Oxford University Press.
• Helmholtz, H. von (1885). On the Sensations of Tone. Trad. de A. J. Ellis. 2.ª ed. inglesa. Londres: Longmans, Green (reed. Dover, 1954).
• Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). Nueva York: W. W. Norton.