Índices acústicos: sistema franco-belga, internacional y Helmholtz

Un piano tiene ocho teclas que se llaman Do. Si un profesor te pide «toca el Do», tienes que preguntarle cuál. Para eso existen los índices acústicos: un número (o una marca) que dice a qué octava pertenece cada nota. El problema es que no hay un único sistema. El mismo do central puede aparecer como Do4, Do3, c′ o nota MIDI 60, según el libro, el país o el programa que uses.

Escucha los Do del piano, de Do1 a Do7. Todos son «Do», pero cada uno está una octava por encima del anterior, con el doble de frecuencia:

▶ Los Do del piano: Do1 a Do7 (índice internacional)

¿Qué es un índice acústico?

Un índice acústico es el número que se escribe detrás del nombre de una nota para indicar su octava. Cumple tres reglas:

1. La octava cambia siempre en el Do. Del Si3 se pasa al Do4, aunque solo haya un semitono entre ellos.
2. Subir una octava suma 1 al índice y duplica la frecuencia. Si el La4 mide 440 Hz, el La5 mide 880 Hz y el La3, 220 Hz.
3. Todas las notas entre dos Do comparten índice. Do4, Re4, Mi4… hasta Si4 forman la octava 4.

La tercera regla trae una trampa: el Si♯3 suena igual que el Do4 en el piano, y el Do♭4 igual que el Si3. El índice lo marca la nota escrita, no la tecla.

La relación con la frecuencia es sencilla. Como cada octava duplica la frecuencia, la nota de índice $o$ se obtiene a partir de la misma nota en la octava 4:

$$f_o = f_4 \cdot 2^{\,o-4}$$

donde $f_4$ es la frecuencia de la nota en la octava 4 (en Hz) y $o$ el índice internacional. Por ejemplo, el La1 mide $440 \cdot 2^{-3} = 55$ Hz.

Los tres sistemas principales

Índice internacional o científico

Es el que usamos en todo este curso. Se conoce también como notación científica (en inglés, scientific pitch notation) y es el habitual en acústica, en los libros en inglés y en la mayoría de afinadores electrónicos.

• Do central = Do4 = 261,63 Hz.
• La del diapasón = La4 = 440 Hz.
• La tecla más grave del piano es el La0 (27,50 Hz) y la más aguda, el Do8 (4186,01 Hz).
• El Do0 (16,35 Hz) queda en el límite inferior de la audición.

Su gran ventaja es que el número de octava coincide con el número MIDI dividido entre 12, menos 1. Enseguida lo verás.

Índice franco-belga

Procede de la tradición de los conservatorios de París y Bruselas y es muy frecuente en los conservatorios y libros de texto españoles, franceses e italianos. Numera una octava menos que el internacional:

• Do central = Do3.
• La del diapasón = La3 = 440 Hz.
• La regla de conversión: franco-belga = internacional − 1.

No es un sistema «equivocado»: es otra convención. El único peligro es mezclarlas. Si un manual dice que la tesitura de la soprano va del Do3 al La4, y otro dice que va del Do4 al La5, los dos pueden estar hablando exactamente de las mismas notas.

Notación de Helmholtz

Lleva el nombre de Hermann von Helmholtz porque la usó en su tratado Die Lehre von den Tonempfindungen (1863), aunque procede de la tradición alemana anterior. No usa números, sino mayúsculas, minúsculas y marcas:

• La octava que empieza en Do3 (internacional) se escribe en minúsculas sin marcas: c, d, e… h (en alemán, el Si es h y el Si♭, b).
• La siguiente lleva un apóstrofo: c′ es el do central. Se lee «c una raya» y a veces se escribe c¹.
• Hacia el agudo se añaden apóstrofos: c″, c‴, c⁗…
• La octava por debajo de c va en mayúsculas: C. Más grave aún se añaden comas o subíndices: C͵ (o C₁) y C͵͵ (o C₂).

Es la notación de muchos libros alemanes y centroeuropeos, de la organería y de buena parte de la bibliografía musicológica.

Número MIDI

El estándar MIDI (1983) no nombra las notas: les asigna un número entero de 0 a 127. Cada semitono suma 1:

• Do central = 60.
• La 440 = 69.
• El piano va del 21 (La0) al 108 (Do8).

El número MIDI $m$ y el índice internacional se relacionan así:

$$o = \left\lfloor \frac{m}{12} \right\rfloor - 1 \qquad p = m - 12\,(o + 1)$$

donde $o$ es el índice de octava internacional, $\lfloor\,\rfloor$ indica la parte entera y $p$ la posición de la nota dentro de la octava (0 = Do, 1 = Do♯, 2 = Re… 11 = Si). Por ejemplo, para $m = 69$: $o = 5 - 1 = 4$ y $p = 69 - 60 = 9$, es decir, La4.

Tabla completa de los índices acústicos (Do0 - Do8)

Frecuencias en temperamento igual con La4 = 440 Hz. Los pies de órgano indican qué registro tiene su Do más grave en esa nota (lo explicamos más abajo).

Frecuencia	Internacional	Franco-belga	Helmholtz	MIDI	Nombre de la octava (Helmholtz)	Órgano
16,35 Hz	Do0	Do−1*	C͵͵	12	subcontraoctava	32′
32,70 Hz	Do1	Do0*	C͵	24	contraoctava	16′
65,41 Hz	Do2	Do1	C	36	octava grande	8′
130,81 Hz	Do3	Do2	c	48	octava pequeña	4′
261,63 Hz	Do4	Do3	c′	60	octava de una raya	2′
523,25 Hz	Do5	Do4	c″	72	octava de dos rayas	1′
1046,50 Hz	Do6	Do5	c‴	84	octava de tres rayas	—
2093,00 Hz	Do7	Do6	c⁗	96	octava de cuatro rayas	—
4186,01 Hz	Do8	Do7	c′′′′′	108	octava de cinco rayas	—

* Resultado de aplicar la regla «internacional − 1». Lee el aviso siguiente.

Para los La, que son la referencia de afinación, la correspondencia es:

Frecuencia	Internacional	Franco-belga	Helmholtz	MIDI
27,50 Hz	La0 (tecla más grave del piano)	La−1*	A͵͵	21
55,00 Hz	La1	La0*	A͵	33
110,00 Hz	La2	La1	A	45
220,00 Hz	La3	La2	a	57
440,00 Hz	La4	La3	a′	69
880,00 Hz	La5	La4	a″	81
1760,00 Hz	La6	La5	a‴	93
3520,00 Hz	La7	La6	a⁗	105

Tienes las 88 teclas con todas sus frecuencias en la frecuencia de las notas musicales.

▶ Do central (Do4) y La del diapasón (La4)

¿El do central es Do3 o Do4?

Es la duda más repetida y la respuesta es: la misma tecla, dos nombres. El do central es el Do que queda más o menos en el centro del teclado del piano (la 40.ª tecla de 88) y el que se escribe en la línea adicional entre los pentagramas de clave de Sol y de Fa.

• En índice internacional: Do4.
• En franco-belga: Do3.
• En Helmholtz: c′.
• En MIDI: 60.

Su frecuencia, con La4 = 440 Hz y temperamento igual, es:

$$f_{\text{Do4}} = 440 \cdot 2^{-9/12} \approx 261{,}63\ \text{Hz}$$

porque está 9 semitonos por debajo del La4. Si ves escrito «Do central = 256 Hz», se trata del llamado diapasón científico, una propuesta antigua que no es el estándar actual. Lo explicamos en 432 Hz o 440 Hz.

Cómo se usan los índices acústicos en el conservatorio

En la práctica te los vas a encontrar en muchas asignaturas:

• Lenguaje musical y armonía: para indicar tesituras, el ámbito de un ejercicio o la nota de un bajo.
• Instrumento y orquestación: los tratados dan la extensión de cada instrumento con índices. El violín, por ejemplo, empieza en el Sol3 internacional (Sol2 en franco-belga), 196 Hz; la flauta travesera, en el Do4 (Do3 franco-belga), o en el Si3 si tiene pata de Si.
• Canto y coro: las tesituras de soprano, contralto, tenor y bajo. El tenor, además, lee en clave de Sol pero suena una octava más grave de lo escrito.
• Acústica y afinación: para calcular frecuencias. Aquí el índice internacional es casi obligatorio, porque es el que usan las fórmulas y las tablas de la bibliografía científica.

Los pies del órgano

Los organeros tienen su propio índice, heredado de la longitud de los tubos. Un registro de 8 pies (8′) es aquel cuyo tubo más grave, el del Do de la tecla más grave, mide unos 8 pies (unos 2,4 m) y suena Do2 (65,41 Hz), a la misma altura que la escrita. Un registro de 16′ suena una octava más grave; uno de 4′, una octava más aguda; uno de 2′, dos octavas por encima. La longitud real del tubo es algo menor que la mitad de la longitud de onda por la corrección de extremo, como verás en los tubos sonoros.

Cómo no equivocarte

Tres trucos para no perderte:

1. Busca el La del diapasón. Si el libro dice La3 = 440 Hz, usa el franco-belga; si dice La4 = 440 Hz, el internacional.
2. Recuerda el 60. El do central es MIDI 60 en todos los sistemas. Si dudas del nombre, piensa en el número.
3. Convierte siempre sumando o restando 1, nunca de otra forma. Internacional = franco-belga + 1.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Helmholtz, H. von (1863). Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Brunswick: Vieweg.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound. 3.ª ed. San Francisco: Addison-Wesley.
• MIDI Manufacturers Association (1996). The Complete MIDI 1.0 Detailed Specification. Los Ángeles: MMA.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.