Temperamentos desiguales: Werckmeister, Kirnberger, Vallotti y el «buen temperamento» de Bach

A finales del siglo XVII los compositores empezaron a pedir tonalidades que el temperamento mesotónico no podía dar: Mi mayor, Si mayor, Fa menor, Do♯ menor… La respuesta no fue todavía el temperamento igual, sino una familia intermedia: los temperamentos desiguales o circulantes. En ellos se puede tocar en las 24 tonalidades, pero cada tonalidad suena distinta.

Escucha dos acordes mayores en el temperamento Werckmeister III. El de Do mayor tiene una tercera casi pura; el de Do♯ mayor, una tercera pitagórica, mucho más abierta:

▶ Do mayor en Werckmeister III ▶ Do♯ mayor en Werckmeister III

La tercera de Do mayor bate unas 3 veces por segundo; la de Do♯ mayor, unas 17. En temperamento igual las dos terceras medirían lo mismo, 400 cents, y la de Do mayor batiría unas 10 veces por segundo.

¿Qué son los temperamentos desiguales?

Un temperamento desigual reparte la coma pitagórica (23,46 cents) de forma irregular entre las doce quintas del ciclo: unas se estrechan y otras quedan puras. Como el total de lo que se estrecha es exactamente una coma pitagórica, doce quintas suman siete octavas y no hay quinta del lobo.

El resultado es que las terceras mayores tienen tamaños distintos según la tonalidad:

• Las tonalidades con pocas alteraciones (Do, Fa, Sol) usan las quintas estrechadas y obtienen terceras cercanas a la pura (386,31 cents).
• Las tonalidades lejanas (Fa♯, Do♯, La♭) usan quintas puras y obtienen terceras pitagóricas o casi (hasta 407,82 cents).

Si necesitas repasar por qué sobra esa coma, lo tienes en las comas musicales.

Temperamentos regulares y circulares

Conviene distinguir dos grandes tipos de temperamento de teclado:

	Temperamentos regulares	Temperamentos circulares
Quintas	Todas iguales salvo una	De dos o más tamaños
Quinta del lobo	Sí	No
Tonalidades utilizables	Solo las cercanas	Las 24
Terceras	Iguales en las tonalidades utilizables	Distintas en cada tonalidad
Ejemplos	Pitagórico, mesotónico de 1/4, 1/6 de coma…	Werckmeister III, Kirnberger III, Vallotti, Young

El temperamento igual es a la vez regular (todas las quintas iguales) y circular (no hay lobo): es el caso límite en el que la desigualdad desaparece.

En la literatura en inglés estos sistemas se llaman well temperaments, y en alemán wohltemperiert. De ahí el título de Bach: «bien temperado» no significa «temperamento igual», sino «temperado de modo que todas las tonalidades sean utilizables».

Werckmeister III (1691)

Andreas Werckmeister (1645-1706), organista en Halberstadt, publicó en Musicalische Temperatur (1691) varios temperamentos. El más famoso es el que hoy se conoce como Werckmeister III (la numeración es moderna).

Su construcción es muy sencilla: se estrechan un cuarto de coma pitagórica (5,87 cents) cuatro quintas, Do - Sol, Sol - Re, Re - La y Si - Fa♯, y las otras ocho quedan puras.

$$4 \cdot \frac{23{,}46}{4} = 23{,}46\ \text{cents}$$

Las quintas estrechas miden $701{,}96 - 5{,}87 = 696{,}09$ cents, un poco más estrechas incluso que las del mesotónico de 1/4 de coma. La tercera Do - Mi resulta:

$$3 \cdot 696{,}09 + 701{,}96 - 2400 = 390{,}22\ \text{cents}$$

apenas 3,91 cents por encima de la pura. En cambio, las terceras de Fa♯, Do♯ y La♭ mayor, formadas solo con quintas puras, son pitagóricas: 407,82 cents.

Kirnberger III

Johann Philipp Kirnberger (1721-1783), discípulo de Bach y teórico en Berlín, propuso varios temperamentos. El conocido como Kirnberger III busca una tercera Do - Mi exactamente pura:

• Las cuatro quintas Do - Sol - Re - La - Mi se estrechan un cuarto de coma sintónica (5,38 cents) cada una, como en el mesotónico. Así Do - Mi queda pura (386,31 cents).
• La quinta Fa♯ - Do♯ se estrecha un esquisma (1,95 cents).
• Las siete restantes son puras.

La suma cuadra porque coma sintónica + esquisma = coma pitagórica ($21{,}51 + 1{,}95 = 23{,}46$ cents). Es un temperamento muy contrastado: Do mayor suena casi como en mesotónico, y las tonalidades lejanas, casi pitagóricas.

Vallotti y Young

Francesco Antonio Vallotti (1697-1780), maestro de capilla en la basílica de San Antonio de Padua, propuso un temperamento de una lógica muy limpia: se estrechan 1/6 de coma pitagórica (3,91 cents) las seis quintas Fa - Do - Sol - Re - La - Mi - Si, y las otras seis quedan puras. Las quintas estrechas miden 698,04 cents.

El físico inglés Thomas Young publicó en 1800 un temperamento con la misma estructura desplazado una quinta: estrecha 1/6 de coma pitagórica las quintas Do - Sol - Re - La - Mi - Si - Fa♯. Se conoce como Young II (o simplemente «Young»).

Ambos son suaves: sus terceras van de 392,18 a 407,82 cents y no tienen extremos tan marcados como el Kirnberger III. Por eso son de los más usados hoy como temperamento «de uso general» para el continuo barroco.

Tabla comparativa en cents

Posición de cada nota en cents (sobre Do) y, entre paréntesis, su desviación respecto al temperamento igual:

Nota	Werckmeister III	Kirnberger III	Vallotti	Young II
Do	0,00 (0,00)	0,00 (0,00)	0,00 (0,00)	0,00 (0,00)
Do♯	90,22 (−9,78)	90,22 (−9,78)	94,13 (−5,87)	90,22 (−9,78)
Re	192,18 (−7,82)	193,16 (−6,84)	196,09 (−3,91)	196,09 (−3,91)
Mi♭	294,13 (−5,87)	294,13 (−5,87)	298,04 (−1,96)	294,13 (−5,87)
Mi	390,22 (−9,78)	386,31 (−13,69)	392,18 (−7,82)	392,18 (−7,82)
Fa	498,04 (−1,96)	498,04 (−1,96)	501,96 (+1,96)	498,04 (−1,96)
Fa♯	588,27 (−11,73)	590,22 (−9,78)	592,18 (−7,82)	588,27 (−11,73)
Sol	696,09 (−3,91)	696,58 (−3,42)	698,04 (−1,96)	698,04 (−1,96)
Sol♯	792,18 (−7,82)	792,18 (−7,82)	796,09 (−3,91)	792,18 (−7,82)
La	888,27 (−11,73)	889,74 (−10,26)	894,13 (−5,87)	894,13 (−5,87)
Si♭	996,09 (−3,91)	996,09 (−3,91)	1000,00 (0,00)	996,09 (−3,91)
Si	1092,18 (−7,82)	1088,27 (−11,73)	1090,22 (−9,78)	1090,22 (−9,78)

Al afinar un clave con un afinador electrónico se usan justamente estas desviaciones. Ojo: la tabla toma Do como referencia; si quieres el La exactamente a 415 o 440 Hz, basta con desplazar todas las notas la misma cantidad.

El color de las tonalidades

La forma más clara de ver el «carácter» de cada tonalidad es comparar el tamaño de sus terceras mayores. Ordenadas por el círculo de quintas:

Acorde mayor	Werckmeister III	Kirnberger III	Vallotti	Temperamento igual
Do	390,2	386,3	392,2	400,0
Sol	396,1	391,7	392,2	400,0
Re	396,1	397,1	396,1	400,0
La	402,0	400,5	400,0	400,0
Mi	402,0	405,9	403,9	400,0
Si	402,0	405,9	407,8	400,0
Fa♯	407,8	405,9	407,8	400,0
Do♯ / Re♭	407,8	407,8	407,8	400,0
La♭	407,8	407,8	403,9	400,0
Mi♭	402,0	402,4	400,0	400,0
Si♭	396,1	397,1	396,1	400,0
Fa	390,2	391,7	392,2	400,0

(La tercera pura mide 386,3 cents y la pitagórica, 407,8.) El patrón se repite en todos: terceras dulces alrededor de Do y ásperas en el extremo opuesto del círculo. Una obra en Do mayor suena reposada; la misma obra en Do♯ mayor, tensa y brillante.

Los teóricos de la época escribieron mucho sobre el carácter de las tonalidades. Johann Mattheson dedicó un capítulo de Das neu-eröffnete Orchestre (1713) a los afectos de cada tonalidad, y Christian Friedrich Daniel Schubart los describió en Ideen zu einer Ästhetik der Tonkunst (publicado en 1806). Sus descripciones son en parte subjetivas y dependen de muchos factores, pero los temperamentos desiguales dan una base acústica real a esas diferencias, que en el temperamento igual desaparecen.

Puedes probarlo en el comparador de afinaciones: toca la misma cadencia en Do y en Do♯ en cada temperamento.

Bach y El clave bien temperado

En 1722, Johann Sebastian Bach reunió 24 preludios y fugas, uno en cada tonalidad mayor y menor, bajo el título Das wohltemperirte Clavier (El clave bien temperado). Durante mucho tiempo se repitió que la obra demostraba el uso del temperamento igual. Hoy se sabe que no es así: cualquier temperamento circulante permite tocar las 24 tonalidades, y en tiempos de Bach el temperamento igual era todavía poco habitual en los teclados.

Qué temperamento usaba Bach no se sabe con certeza. Las fuentes indirectas (testimonios de sus alumnos, como Kirnberger, y de otros contemporáneos) sugieren que afinaba él mismo sus instrumentos y que prefería una afinación que permitiera todas las tonalidades, pero no dejan una receta numérica.

Para comparar, estas son las posiciones de la propuesta de Lehman sobre Do (y su desviación respecto al temperamento igual):

Do	Do♯	Re	Mi♭	Mi	Fa	Fa♯	Sol	Sol♯	La	Si♭	Si
0,00	98,04	196,09	298,04	392,18	501,96	596,09	698,04	798,04	894,13	998,04	1094,13
0,00	−1,96	−3,91	−1,96	−7,82	+1,96	−3,91	−1,96	−1,96	−5,87	−1,96	−5,87

Los temperamentos desiguales hoy

Tras su época de esplendor, en el siglo XVIII y comienzos del XIX, los temperamentos desiguales fueron cediendo terreno al temperamento igual, que se generalizó en los pianos a lo largo del siglo XIX. Pero no han desaparecido:

• Interpretación historicista. Los claves, órganos positivos y fortepianos de los grupos de música antigua se afinan casi siempre en un temperamento histórico. Vallotti, Young, Werckmeister III y Kirnberger III son de los más frecuentes para la música barroca, y el mesotónico para la de los siglos XVI y XVII. Suelen combinarse con un diapasón bajo, como La = 415 Hz (ver 432 Hz frente a 440 Hz para el contexto del diapasón).
• Afinadores y aplicaciones. Casi todos los afinadores electrónicos avanzados incluyen estos temperamentos, así que un clavecinista puede afinar un Werckmeister III en pocos minutos con la tabla de desviaciones de arriba.
• Órganos nuevos. Muchos órganos construidos o restaurados desde la segunda mitad del siglo XX se han afinado en temperamentos circulantes, para poder tocar el repertorio barroco alemán con su color original.
• Grabaciones y experimentación. Algunos pianistas han grabado obras clásicas y románticas en temperamentos desiguales para recuperar el contraste entre tonalidades que tenían en mente sus autores.

Lo que se gana y se pierde al pasar al temperamento igual lo tienes explicado en el temperamento igual, y la visión de conjunto, en el hub de sistemas de afinación.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Werckmeister, A. (1691). Musicalische Temperatur. Fráncfort y Leipzig.
• Young, T. (1800). «Outlines of Experiments and Inquiries Respecting Sound and Light». Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 90.
• Lehman, B. (2005). «Bach’s Extraordinary Temperament: Our Rosetta Stone». Early Music, 33 (1 y 2).
• Barbour, J. M. (1951). Tuning and Temperament: A Historical Survey. East Lansing: Michigan State College Press (reed. Dover, 2004).
• Jorgensen, O. H. (1991). Tuning: Containing the Perfection of Eighteenth-Century Temperament, the Lost Art of Nineteenth-Century Temperament, and the Science of Equal Temperament. East Lansing: Michigan State University Press.
• Goldáraz Gaínza, J. J. (1992). Afinación y temperamento en la música occidental. Madrid: Alianza Música.
• Lindley, M. «Temperaments». En Grove Music Online. Oxford University Press.
• Duffin, R. W. (2007). How Equal Temperament Ruined Harmony (and Why You Should Care). Nueva York: W. W. Norton.