Batimientos e interferencias del sonido

Dos flautistas tocan el mismo La. Si están perfectamente afinados, se oye un sonido limpio y estable. Si uno está un poco alto, el sonido empieza a latir: «uaua-uaua-uaua». Ese latido se llama batimiento (o pulsación) y es, probablemente, la herramienta de afinación más antigua y precisa que existe. Los afinadores de piano la usan a diario, y cualquier músico de orquesta la reconoce aunque no sepa explicarla.

Escucha cómo cambia el latido según la diferencia de frecuencia:

▶ 440 + 442 Hz: 2 batimientos por segundo ▶ 440 + 444 Hz: 4 batimientos por segundo ▶ 440 + 450 Hz: 10 batimientos por segundo ▶ 440 + 470 Hz: 30 Hz de diferencia, rugosidad

Con 2 Hz de diferencia, el latido es lento y fácil de contar. Con 10 Hz es un trémolo rápido. Con 30 Hz ya no oyes un latido, sino un sonido áspero. En este artículo verás por qué ocurre, cómo se calcula y cómo lo aprovechan los músicos.

Interferencia constructiva y destructiva

Todo parte del principio de superposición, que viste en ondas estacionarias y superposición: cuando dos ondas coinciden en un punto, sus presiones se suman. El resultado depende de la fase con que lleguen:

• Interferencia constructiva: las dos ondas llegan en fase (crestas con crestas). Las amplitudes se suman y el sonido se refuerza.
• Interferencia destructiva: llegan en oposición de fase (crestas con valles). Las amplitudes se restan y, si son iguales, se anulan.

Si las dos ondas tienen la misma frecuencia, su diferencia de fase no cambia con el tiempo y el resultado es estable: en un punto concreto de la sala se oirá más fuerte o más débil, pero siempre igual. Si dos altavoces emiten en fase, la interferencia en un punto es constructiva cuando la diferencia de caminos $\Delta d$ es un número entero de longitudes de onda, y destructiva cuando es un número entero más media longitud de onda:

$$\Delta d = n\,\lambda \ \ \text{(constructiva)} \qquad \Delta d = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \ \ \text{(destructiva)}$$

¿Y si las frecuencias son ligeramente distintas? Entonces la diferencia de fase va cambiando poco a poco: las ondas pasan de estar en fase a estar en oposición y vuelven a estar en fase, una y otra vez. El sonido alterna entre interferencia constructiva y destructiva. Eso es un batimiento.

¿Qué es un batimiento?

Un batimiento es la variación periódica de amplitud que resulta de sumar dos ondas de frecuencias próximas. El oído no oye dos notas, sino una sola nota cuyo volumen sube y baja. La frecuencia de ese vaivén es la frecuencia de batimiento:

$$f_{bat} = \lvert f_1 - f_2 \rvert$$

• $f_{bat}$: número de batimientos por segundo (Hz).
• $f_1$ y $f_2$: frecuencias de los dos sonidos (Hz).

Ejemplo: 440 Hz y 443 Hz dan 3 batimientos por segundo. La nota que se oye tiene una altura intermedia, 441,5 Hz, que el oído no distingue de ninguna de las dos.

De dónde sale la fórmula

Suma dos ondas senoidales de la misma amplitud $A$ y frecuencias $f_1$ y $f_2$:

$$y(t) = A\sin(2\pi f_1 t) + A\sin(2\pi f_2 t)$$

Aplica la identidad trigonométrica de la suma de senos, $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$:

$$y(t) = \underbrace{2A\cos\left(2\pi\,\frac{f_1 - f_2}{2}\,t\right)}_{\text{amplitud que varía lentamente}} \cdot \underbrace{\sin\left(2\pi\,\frac{f_1 + f_2}{2}\,t\right)}_{\text{nota que se oye}}$$

La suma es una onda de frecuencia media $(f_1 + f_2)/2$ cuya amplitud no es constante: está «modulada» por un coseno lento de frecuencia $(f_1 - f_2)/2$.

¿Por qué entonces se oyen $f_1 - f_2$ batimientos y no la mitad? Porque el oído percibe la intensidad, que no distingue si la envolvente es positiva o negativa. El coseno pasa por un máximo positivo y por uno negativo en cada ciclo, así que hay dos refuerzos por ciclo. El resultado: $\lvert f_1 - f_2 \rvert$ máximos de volumen por segundo.

Del batimiento a la rugosidad y a las dos notas

La percepción cambia mucho según la diferencia de frecuencia. Para dos tonos puros hacia el La4:

Diferencia $\lvert f_1 - f_2 \rvert$	Lo que se oye
Menos de 1 Hz	Una nota estable con un vaivén muy lento de volumen
1 a 10-15 Hz	Batimientos claros, que se pueden contar
15 a 40-50 Hz, aprox.	Rugosidad: un sonido áspero, «granulado»
Más de unos 50-100 Hz	Dos notas distintas, cada vez más limpias

Los límites son orientativos y dependen del registro. El paso de batimiento a rugosidad y de rugosidad a dos notas separadas está ligado a la banda crítica del oído: la zona de frecuencias en la que dos tonos excitan la misma región de la membrana basilar. Plomp y Levelt (1965) midieron que dos tonos puros resultan más ásperos cuando están separados alrededor de un cuarto de banda crítica, y que dejan de serlo cuando la separación supera la banda crítica entera. Es una de las bases físicas de la consonancia y la disonancia.

Escucha la transición con dos notas reales. Primero, una segunda mayor (La4-Si4, 54 Hz de diferencia), que ya suena como dos notas pero aún algo áspera en tonos puros; luego, una quinta justa (La4-Mi5), limpia:

▶ La4 + Si4: dos notas, algo de rugosidad ▶ La4 + Mi5 (quinta justa): dos notas limpias

Afinar con los batimientos

El unísono

Es el caso más sencillo. Dos instrumentos tocan la misma nota: si hay batimientos, no están afinados. El músico mueve su afinación y escucha:

• si el latido se acelera, va en la dirección equivocada;
• si se frena, va bien;
• cuando desaparece, el unísono está afinado.

Con este método se consigue una precisión muy superior a la del oído «a secas». Un batimiento por segundo a 440 Hz equivale a solo 4 cents de diferencia. Los afinadores de piano igualan así las dos o tres cuerdas de cada nota del registro medio y agudo.

La octava y la quinta: batimientos entre armónicos

En un intervalo que no es unísono, las fundamentales están muy separadas y no baten entre sí. Pero los instrumentos reales producen armónicos, y algunos armónicos de las dos notas coinciden o casi. Son esos armónicos los que baten.

• Octava ($f_2 \approx 2f_1$): el 2.º armónico de la nota grave coincide con la fundamental de la aguda. Batimientos: $\lvert 2f_1 - f_2 \rvert$.
• Quinta ($f_2 \approx \tfrac{3}{2}f_1$): el 3.er armónico de la grave coincide con el 2.º de la aguda. Batimientos: $\lvert 3f_1 - 2f_2 \rvert$.
• Cuarta ($f_2 \approx \tfrac{4}{3}f_1$): el 4.º armónico de la grave con el 3.º de la aguda. Batimientos: $\lvert 4f_1 - 3f_2 \rvert$.
• Tercera mayor ($f_2 \approx \tfrac{5}{4}f_1$): el 5.º de la grave con el 4.º de la aguda. Batimientos: $\lvert 5f_1 - 4f_2 \rvert$.

En general, para un intervalo cercano a la razón $m/n$, los batimientos son $\lvert m f_1 - n f_2 \rvert$. Cuando el intervalo es justo (razón exacta), los armónicos coinciden y no hay batimientos.

En el temperamento igual casi ningún intervalo es justo, así que casi todos baten. Estos son algunos valores con La4 = 440 Hz:

Intervalo temperado	Frecuencias	Armónicos que baten	Batimientos por segundo
Quinta La3-Mi4	220 y 329,63 Hz	3.º de La3 (660) y 2.º de Mi4 (659,26)	0,74
Quinta Do4-Sol4	261,63 y 392,00 Hz	3.º de Do4 (784,88) y 2.º de Sol4 (783,99)	0,89
Quinta La4-Mi5	440 y 659,26 Hz	3.º de La4 (1320) y 2.º de Mi5 (1318,51)	1,49
Tercera mayor Do4-Mi4	261,63 y 329,63 Hz	5.º de Do4 (1308,13) y 4.º de Mi4 (1318,51)	10,4

Fíjate en la diferencia: la quinta temperada late menos de un batimiento por segundo, casi imperceptible, mientras que la tercera mayor temperada late más de diez veces por segundo. Es la razón acústica por la que la tercera del piano suena «inquieta» comparada con la de un coro que afina de oído. Lo explica con detalle la afinación de Zarlino.

Compara la tercera temperada con la tercera justa (5/4). Escúchalas con un timbre rico en armónicos para oír el latido:

▶ Tercera mayor temperada Do4-Mi4: unos 10 batimientos por segundo ▶ Tercera mayor justa (5/4): sin batimientos

Los tonos diferenciales o tonos de Tartini

Hay un fenómeno emparentado que a menudo se confunde con los batimientos. Si tocas dos notas agudas, fuertes y sostenidas a la vez, a veces oyes un tercer sonido más grave que ninguna de las dos. Su frecuencia es la diferencia entre ambas:

$$f_d = f_2 - f_1$$

Es el tono diferencial, llamado también tono de Tartini o «tercer sonido». No se oye como un latido de volumen, sino como una nota. La diferencia está en la separación: los batimientos aparecen cuando las frecuencias están muy próximas (unos pocos hercios de diferencia); el tono diferencial, cuando están bastante separadas y la diferencia cae en el registro audible como altura.

Ejemplos con intervalos justos:

Intervalo	Frecuencias	Tono diferencial
Quinta justa La4-Mi5	440 y 660 Hz	220 Hz (La3)
Cuarta justa La4-Re5	440 y 586,67 Hz	146,67 Hz (Re3)
Tercera mayor justa La4-Do♯5	440 y 550 Hz	110 Hz (La2)
Tercera menor justa La4-Do5	440 y 528 Hz	88 Hz (Fa2)

Estos tonos no están en el aire, o solo muy débilmente: se generan sobre todo dentro del oído, porque la cóclea no responde de forma perfectamente lineal a los sonidos intensos. Además del tono $f_2 - f_1$, suele oírse otro, el tono diferencial cúbico $2f_1 - f_2$, que es muy audible incluso a volúmenes moderados.

Prueba con dos tonos puros agudos (con un volumen algo alto, sin llegar a molestar). Si escuchas con atención, puede aparecer un sonido grave de 220 Hz:

▶ 880 + 1100 Hz: busca un tono grave de 220 Hz

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3.ª ed.). San Francisco: Addison-Wesley.
• Plomp, R. y Levelt, W. J. M. (1965). «Tonal consonance and critical bandwidth». Journal of the Acoustical Society of America, 38, 548-560.
• Helmholtz, H. von (1863). Die Lehre von den Tonempfindungen.
• Tartini, G. (1754). Trattato di musica secondo la vera scienza dell’armonia. Padua.
• Benade, A. H. (1990). Fundamentals of Musical Acoustics. Nueva York: Dover.