Acústica del violín: arco, puente, alma y el mito Stradivarius

Un violín pesa unos 400 gramos. Con cuatro cuerdas, un trozo de crin untado de resina y una caja de madera de 2 a 3 mm de espesor, un solista llena una sala de dos mil personas por encima de una orquesta. Detrás hay una cadena de piezas pequeñas (arco, cuerda, puente, alma, barra, tapa) en la que cada eslabón cuenta.

El punto de partida es una cuerda frotada que vibra con una forma muy particular, el movimiento de Helmholtz. Su fuerza sobre el puente es casi un diente de sierra, con todos los armónicos. Compara un La4 puro con esa forma de onda:

▶ La4 puro (sinusoide) ▶ La4 en diente de sierra, como la cuerda frotada

El segundo es áspero y zumbón. Es lo que «oye» el puente. Lo que convierte ese zumbido en un sonido de violín es la caja.

El arco: más allá del movimiento de Helmholtz

En instrumentos de cuerda viste la base: la colofonía hace que la cuerda alterne una fase de adherencia, en la que va pegada al arco, y otra de deslizamiento, en la que retrocede. La cuerda toma la forma de dos rectas con un vértice que la recorre una vez por periodo, y la fuerza sobre el puente es una onda en diente de sierra, con armónicos que decaen como $1/n$.

Aquí interesa cómo controla el violinista ese movimiento. Tiene tres variables: la velocidad del arco $v_B$, la fuerza con que lo apoya y la distancia al puente, que se expresa como fracción $\beta$ de la longitud de la cuerda.

La velocidad y la distancia al puente fijan la amplitud. En el movimiento de Helmholtz, el punto de la cuerda que toca el arco se mueve con él durante la adherencia. Resolviendo la geometría del vértice, la amplitud en el centro de la cuerda es:

$$A = \frac{v_B}{8\,\beta\,f}$$

donde $A$ es la amplitud (m), $v_B$ la velocidad del arco (m/s), $\beta$ la posición relativa del arco (adimensional) y $f$ la frecuencia (Hz). Con $v_B = 0{,}2$ m/s, $\beta = 1/10$ y la cuerda Sol (196 Hz):

$$A = \frac{0{,}2}{8 \cdot 0{,}1 \cdot 196} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-3}\ \text{m} = 1{,}3\ \text{mm}$$

Hay dos maneras de tocar más fuerte: más velocidad de arco o más cerca del puente. Duplicar $v_B$ o reducir $\beta$ a la mitad duplica la amplitud.

La fuerza no fija la amplitud, pero decide si hay movimiento de Helmholtz. John C. Schelleng lo mostró en 1973: para cada distancia al puente hay una fuerza mínima y una máxima. La mínima crece como $v_B/\beta^2$ y la máxima como $v_B/\beta$. Con poca fuerza, la cuerda resbala antes de tiempo y el sonido es aireado o salta a un armónico; con demasiada, la cuerda no se suelta a tiempo y la nota cruje. Cerca del puente el margen se estrecha, y por eso tocar forte y sul ponticello exige tanta precisión. Además, cuanto más cerca del puente, más fuerza hace falta y más brillante sale el sonido.

El puente: un filtro con forma de corona

El puente del violín no es un simple soporte. Es una pieza de arce de unos 2 g, recortada con dos «riñones» y un corazón, que se apoya sobre la tapa con dos pies y transmite la fuerza de las cuerdas.

Tiene sus propias resonancias. La más importante es un balanceo de la parte superior del puente sobre su cintura, que refuerza la transmisión en una zona ancha de frecuencias, entre unos 2 y 3 kHz. En los espectros medidos de muchos violines esa subida aparece como una colina, y los investigadores la llaman bridge hill. Por encima de ella, el puente transmite cada vez peor.

Esa colina cae en la zona donde el oído es más sensible, y en la que se sitúa también el formante del cantante (lo tienes en la voz humana). Es parte del «brillo» que permite que un violín se oiga sobre la orquesta. El luthier ajusta el puente rebajando los riñones, la cintura o los pies: cambia su masa y su rigidez, y con ellas la posición y la altura de la colina.

La sordina

La sordina se sujeta en la parte superior del puente y le añade masa. Un modelo muy simplificado lo explica: si una resonancia depende de una masa $m$ y una rigidez $k$ según $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$, añadir masa la baja. Si una sordina multiplica por 2,5 la masa efectiva, una resonancia de 3000 Hz bajaría a $3000 \cdot \sqrt{1/2{,}5} \approx 1900$ Hz, y por encima de ella la transmisión cae. El resultado es un sonido más suave y velado, sin la colina de los 2-3 kHz. Las sordinas de estudio, de metal o de goma muy pesada, añaden tanta masa que el violín apenas se oye en la habitación de al lado.

El alma y la barra armónica

Si el puente se apoyara sobre una tapa simétrica, sus dos pies se moverían en sentidos opuestos al balancear. Una mitad de la tapa subiría y la otra bajaría: un dipolo, que en el grave radia muy mal. Dos piezas internas rompen esa simetría.

• El alma es un cilindro de abeto de unos 6 mm de diámetro, encajado a presión entre la tapa y el fondo, cerca del pie derecho del puente (el de la cuerda Mi). Ese pie queda casi inmóvil y hace de pivote. El pie izquierdo, en cambio, empuja libremente la tapa arriba y abajo. La caja cambia de volumen, «respira», y radia bien en el grave. Además, el alma transmite parte de la vibración al fondo.
• La barra armónica es un listón de abeto pegado bajo el pie izquierdo, casi a lo largo de toda la tapa. Refuerza la tapa frente a la presión de las cuerdas y reparte el empuje del pie izquierdo por una superficie grande.

En francés el alma se llama âme y en italiano anima: el nombre dice mucho de su importancia. Los luthiers la desplazan fracciones de milímetro para equilibrar el sonido entre cuerdas o hacerlo más brillante u oscuro.

Las resonancias del cuerpo: A0 y B1

Si golpeas suavemente el puente de un violín y analizas la respuesta, aparecen unos picos característicos, los modos de firma (signature modes). Los principales son:

Modo	Qué vibra	Frecuencia típica	Nota aproximada
A0	El aire de la caja, entrando y saliendo por las efes (resonancia de Helmholtz)	Unos 270-280 Hz	Do♯4
CBR	Un giro en el plano de la zona de la cintura (center bout rotation)	Hacia 400 Hz	Sol4
B1−	Primer modo de flexión de todo el cuerpo	Hacia 450-480 Hz	La4-Si♭4
B1+	Segundo modo de flexión de todo el cuerpo	Hacia 530-550 Hz	Do5-Do♯5

Valores típicos de violines de buena calidad. Cada instrumento tiene sus propias frecuencias. El modo CBR radia poco.

La A0 es la misma resonancia de Helmholtz que tiene la guitarra en su boca, pero con las efes y una caja de unos 2 litros. Cae entre las cuerdas Sol y Re al aire y refuerza el grave del violín. Los modos B1, de la madera, radian con mucha eficacia porque el cuerpo cambia de volumen, y refuerzan la zona media. Entre A0 y B1 queda un hueco, y la mayoría de las notas de la cuerda Sol dependen de sus armónicos para sonar con fuerza: la fundamental radia poco, y el oído reconstruye la altura igualmente.

Por encima de 1 kHz los modos se multiplican y se solapan. Ahí el sonido depende más del puente (la colina de 2-3 kHz) y de las características estadísticas de la caja que de un modo concreto.

La familia del violín y el problema de la escala

La viola afina una quinta por debajo del violín, el violonchelo una octava por debajo de la viola y el contrabajo, por cuartas, con su cuerda más grave en Mi1 (41,20 Hz). Si quisieras mantener la misma relación entre las resonancias del cuerpo y las cuerdas al aire, tendrías que agrandar todo el instrumento en proporción. Todas las resonancias bajan como $1/k$ si multiplicas por $k$ todas las medidas:

Instrumento	Nota más grave	Factor respecto al violín	Cuerpo «ideal»	Cuerpo real
Violín	Sol3 (196,00 Hz)	1	35,5 cm	35,5 cm
Viola	Do3 (130,81 Hz)	1,5	53 cm	Unos 38-43 cm
Violonchelo	Do2 (65,41 Hz)	3	106 cm	Unos 75-76 cm
Contrabajo	Mi1 (41,20 Hz)	4,76	169 cm	Unos 105-116 cm

Una viola de 53 cm no se podría tocar sobre el hombro. Por eso todos los instrumentos graves de la familia son demasiado pequeños para su afinación. Los constructores lo compensan en parte con aros más altos (más volumen de aire, que baja la A0) y placas relativamente más finas. Aun así, las resonancias principales quedan altas respecto a las cuerdas graves. Es una de las razones del timbre velado y algo nasal de la viola, muy distinto del violín.

Hutchins construyó en los años sesenta el octeto de violines, ocho instrumentos escalados según las leyes de la acústica. Algunos resultaron enormes, y la idea no pasó a la orquesta.

La nota del lobo

Viste en instrumentos de cuerda que en el violonchelo, cuando una nota coincide con una resonancia muy fuerte del cuerpo, aparece la nota del lobo. Ahora puedes entender por qué.

El movimiento de Helmholtz necesita que el puente se comporte casi como un extremo fijo, que refleja la onda de la cuerda. En una resonancia muy intensa, el puente se mueve mucho: la caja «toma» energía de la cuerda más deprisa de lo que el arco la repone. La cuerda y el cuerpo quedan acoplados y oscilan a dos frecuencias cercanas que baten. El arco no consigue mantener el vértice de Helmholtz y la nota tartamudea al ritmo de ese batido, varias veces por segundo. Con la regla de Schelleng: en la resonancia, la fuerza mínima del arco se dispara por encima de la máxima, y no queda ninguna fuerza válida.

En el violonchelo el lobo suele aparecer alrededor de Mi3-Fa♯3 (unos 165-185 Hz), sobre la resonancia B1 del cuerpo. Es más frecuente en instrumentos que radian mucho: un buen violonchelo no está libre de lobo, al contrario. Los remedios más comunes son:

• El supresor de lobo, un pequeño cilindro metálico que se fija a una cuerda entre el puente y el cordal. Resta energía a la resonancia o la desplaza.
• Tocar la nota con más fuerza de arco y algo más lejos del puente.
• En último caso, cambios en el alma o en el grosor de la tapa.

El debate Stradivarius

Antonio Stradivari (hacia 1644-1737) y Giuseppe Guarneri del Gesù (1698-1744) trabajaron en Cremona y sus violines valen hoy millones de euros. Se ha atribuido su sonido a casi todo: el barniz, tratamientos químicos de la madera o la madera densa y regular crecida durante los inviernos fríos de la Pequeña Edad de Hielo. Ninguna de esas hipótesis está demostrada como causa del sonido.

La pregunta previa es si de verdad suenan mejor. Un equipo dirigido por la acústica Claudia Fritz y el luthier Joseph Curtin lo puso a prueba con pruebas a ciegas, con los violinistas usando gafas que les impedían ver el instrumento:

• 2012 (PNAS): en Indianápolis, 21 violinistas compararon seis violines, tres modernos y tres antiguos (dos Stradivarius y un Guarneri del Gesù). El violín preferido fue uno moderno, el menos preferido fue un Stradivarius, y los músicos no supieron decir cuáles eran antiguos.
• 2014 (PNAS): en París, diez solistas probaron doce violines, seis antiguos y seis nuevos, en una sala de ensayo y en una sala de conciertos. Prefirieron en conjunto los nuevos y no distinguieron antiguos de nuevos mejor que al azar.

Estos estudios no dicen que los Stradivarius suenen mal: dicen que, sin ver el instrumento, un buen violín moderno puede igualarlos, y que la fama influye en lo que creemos oír. También han recibido críticas: pocas muestras, poco tiempo para adaptarse a cada instrumento y la dificultad de medir lo que valora un solista a lo largo de años.

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Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Cremer, L. (1984). The Physics of the Violin. Cambridge (Mass.): MIT Press.
• Fletcher, N. H. y Rossing, T. D. (1998). The Physics of Musical Instruments (2.ª ed.). Nueva York: Springer.
• Rossing, T. D. (ed.) (2010). The Science of String Instruments. Nueva York: Springer.
• Schelleng, J. C. (1973). «The bowed string and the player». Journal of the Acoustical Society of America, 53(1), 26-41.
• Fritz, C., Curtin, J., Poitevineau, J., Morrel-Samuels, P. y Tao, F.-C. (2012). «Player preferences among new and old violins». Proceedings of the National Academy of Sciences, 109(3), 760-763.
• Fritz, C., Curtin, J., Poitevineau, J., Borsarello, H., Wollman, I., Tao, F.-C. y Ghasarossian, T. (2014). «Soloist evaluations of six Old Italian and six new violins». Proceedings of the National Academy of Sciences, 111(20), 7224-7229.
• Hutchins, C. M. (1962). «The physics of violins». Scientific American, 207(5), 78-93.