El efecto Doppler en el sonido

Una ambulancia se acerca con la sirena puesta. Justo cuando pasa a tu lado, el sonido cae de golpe: más agudo mientras viene, más grave mientras se va. El conductor, en cambio, oye siempre la misma nota. No es que la sirena cambie; es que el movimiento modifica la frecuencia con que las ondas llegan a tu oído. Es el efecto Doppler, y es tan cotidiano que lo imitas sin pensarlo cuando haces «niiiiauuuu» para imitar un coche de carreras.

Escucha una sirena de 960 Hz que pasa a 90 km/h, primero de forma simplificada (dos notas) y luego con la transición real, a 5 m de distancia:

▶ Acercándose (1035 Hz) y alejándose (895 Hz) ▶ Paso de la sirena, a 5 m de distancia

¿Qué es el efecto Doppler?

El efecto Doppler es el cambio de la frecuencia percibida de una onda cuando la fuente, el observador o ambos se mueven uno respecto al otro:

• si se acercan, la frecuencia percibida es mayor: el sonido suena más agudo;
• si se alejan, la frecuencia percibida es menor: suena más grave;
• si la distancia no cambia, no hay efecto, aunque los dos se muevan.

La idea se entiende bien con una imagen. Una fuente en reposo emite ondas esféricas concéntricas, separadas una longitud de onda $\lambda$. Si la fuente avanza, cada nueva onda sale desde un punto algo más adelantado. Delante de ella, las ondas se apelotonan (longitud de onda más corta, frecuencia más alta); detrás, se separan (longitud de onda más larga, frecuencia más baja).

La fórmula del efecto Doppler

Fuente en movimiento, observador quieto

Si la fuente emite con frecuencia $f$ y se mueve hacia el observador con velocidad $v_s$, en cada periodo $T = 1/f$ avanza una distancia $v_s T$. Las crestas le llegan al observador separadas $\lambda' = (c - v_s)\,T$, y la frecuencia percibida es:

$$f' = f \cdot \frac{c}{c - v_s}$$

Si la fuente se aleja, se cambia el signo: $f' = f \cdot c / (c + v_s)$.

Observador en movimiento, fuente quieta

Si es el observador quien se mueve hacia la fuente con velocidad $v_o$, la longitud de onda no cambia, pero él «sale al encuentro» de las crestas y las recibe más a menudo:

$$f' = f \cdot \frac{c + v_o}{c}$$

Si se aleja, $f' = f \cdot (c - v_o)/c$.

Fórmula general

Juntando los dos casos:

$$f' = f \cdot \frac{c + v_o}{c - v_s}$$

• $f'$: frecuencia percibida por el observador (Hz).
• $f$: frecuencia emitida por la fuente (Hz).
• $c$: velocidad del sonido en el medio (m/s), unos 343 m/s en el aire a 20 °C. Lo tienes en la velocidad del sonido.
• $v_o$: velocidad del observador (m/s), positiva si se acerca a la fuente y negativa si se aleja.
• $v_s$: velocidad de la fuente (m/s), positiva si se acerca al observador y negativa si se aleja.

Una regla sencilla para no equivocarte con los signos: acercarse siempre sube la frecuencia; alejarse siempre la baja. Elige los signos que den ese resultado.

Fíjate en que la fórmula no es simétrica. Una fuente que se acerca a 25 m/s no produce el mismo cambio que un observador que se acerca a 25 m/s: lo que importa es el movimiento respecto al aire, que es el medio por el que viaja el sonido. Si la fuente se acercara a la velocidad del sonido ($v_s = c$), el denominador se anularía: las ondas se acumularían en un único frente de choque.

El ejemplo de la ambulancia, paso a paso

Supón una sirena de 960 Hz que circula a 90 km/h (25 m/s), con el aire a 20 °C ($c$ = 343,4 m/s). Tú estás quieto en la acera.

Mientras se acerca:

$$f'_{acerca} = 960 \cdot \frac{343{,}4}{343{,}4 - 25} \approx 1\,035\ \text{Hz}$$

Mientras se aleja:

$$f'_{aleja} = 960 \cdot \frac{343{,}4}{343{,}4 + 25} \approx 895\ \text{Hz}$$

La caída de 1 035 a 895 Hz es, en cents:

$$1200 \cdot \log_2\left(\frac{1035}{895}\right) \approx 253\ \text{cents}$$

Es decir, unos dos semitonos y medio: entre una segunda mayor y una tercera menor. Un detalle curioso: la subida al acercarse (+131 cents respecto a la frecuencia real) es algo mayor que la bajada al alejarse (−122 cents). El oído no lo nota, porque nunca oye la frecuencia «real» de la sirena.

Vehículo y velocidad	Se acerca	Se aleja	Caída total
Sirena de 960 Hz a 50 km/h	1 000 Hz	923 Hz	≈ 1,4 semitonos
Sirena de 960 Hz a 90 km/h	1 035 Hz	895 Hz	≈ 2,5 semitonos
Bocina de tren de 440 Hz a 120 km/h	487 Hz	401 Hz	≈ 3,4 semitonos
Coche de carreras, motor a 600 Hz, a 300 km/h	792 Hz	483 Hz	≈ 8,6 semitonos

A 300 km/h, la caída supera una sexta menor (8 semitonos). Por eso el paso de un coche de Fórmula 1 suena tan dramático.

El efecto Doppler en la música

El altavoz Leslie y el órgano Hammond

El ejemplo musical más famoso del efecto Doppler es el altavoz Leslie, inventado por Don Leslie hacia 1940 y asociado para siempre al órgano Hammond (comercializado desde 1935). Dentro de la caja, una bocina de agudos gira sobre sí misma y un rotor de graves hace girar el sonido del altavoz grave. Como la boca de la bocina se acerca y se aleja del oyente varias veces por segundo, el sonido sufre:

• un vibrato por efecto Doppler (la frecuencia sube y baja);
• un trémolo (el volumen cambia según hacia dónde apunte la bocina);
• una continua variación de las reflexiones en la sala.

Tiene dos velocidades: una lenta (chorale) y una rápida (tremolo), y el paso de una a otra, con la bocina acelerando o frenando, es un recurso expresivo muy característico del jazz, el soul y el rock de los años sesenta y setenta. Con una bocina de unos 15 cm de radio girando unas 6-7 veces por segundo, la boca se mueve a unos 6 m/s, lo que produce una oscilación de afinación de unos ±30 cents.

▶ Vibrato por efecto Doppler muy simplificado: ±30 cents

Otros usos musicales

• Músicos en movimiento. En una banda que desfila, la altura que oye el público cambia ligeramente al pasar, aunque a la velocidad de un paso (1-2 m/s) la variación es de solo unos 5-10 cents.
• Música electroacústica y sonido espacial. Los sistemas de sonido envolvente y los procesadores de audio espacial añaden un pequeño desplazamiento Doppler a los sonidos que «se mueven» por la sala para que el movimiento resulte creíble.

Historia: Doppler y Buys Ballot

Hoy el efecto Doppler se usa mucho más allá de la acústica musical: en las ecografías Doppler, que miden la velocidad de la sangre con ultrasonidos; en los radares de tráfico; en los murciélagos, que lo usan para saber si su presa se acerca o se aleja; y en astronomía, donde el desplazamiento al rojo de la luz de las galaxias reveló que el universo se expande.

Cuando la fuente supera la velocidad del sonido

Si la fuente va más rápido que el sonido ($v_s$ mayor que $c$), adelanta a sus propias ondas. Los frentes se acumulan en un cono de Mach, cuyo semiángulo $\theta$ cumple:

$$\sin\theta = \frac{c}{v_s} = \frac{1}{\text{Ma}}$$

Un avión a Mach 2 arrastra un cono de 30° de semiángulo. Cuando ese cono barre el suelo, se oye el estampido sónico. La fórmula de Doppler deja de tener sentido en ese régimen: el observador no oye nada hasta que le llega el cono.

Ejercicios

Fuentes y bibliografía

• Doppler, C. (1842). Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels. Praga: Abhandlungen der Königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften.
• Buys Ballot, C. H. D. (1845). «Akustische Versuche auf der Niederländischen Eisenbahn, nebst gelegentlichen Bemerkungen zur Theorie des Hrn. Prof. Doppler». Annalen der Physik und Chemie, 66, 321-351.
• Rossing, T. D., Moore, F. R. y Wheeler, P. A. (2002). The Science of Sound (3.ª ed.). San Francisco: Addison-Wesley.
• Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B. y Sanders, J. V. (2000). Fundamentals of Acoustics (4.ª ed.). Nueva York: Wiley.
• Roederer, J. G. (1997). Acústica y psicoacústica de la música. Buenos Aires: Ricordi.